Généralisation de la notion de nombre premier

[Seirios]

Bonjour à tous,

Comme le dit le titre, j'aimerais savoir comment l'on définit un nombre premier de manière générale (plus généralement que dans ). Sur wikipédia, est proposée cette définition :

Soit A un anneau ; est premier si, et seulement si, aA est un idéal premier (c'est-à-dire ssi et A/aA est intègre).

Est-ce la définition la plus générale d'un nombre premier ? Qu'en est-il sur des structures autres que les anneaux (si cela a un intérêt) ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invite986312212]

salut,

j'ai l'impression qu'on ne parle de nombres premiers que dans les anneaux. Mais en fait, la loi additive ne sert à rien, et on pourrait définir des nombres premiers dans un monoïde. Reste à trouver un exemple de monoïde (qui ne vienne pas d'un anneau) et où le concept de nombre premier soit intéressant.

[Seirios]

Reste à trouver un exemple de monoïde (qui ne vienne pas d'un anneau) et où le concept de nombre premier soit intéressant.

Quelqu'un aurait-il un tel exemple ?

Sinon, la définition que j'ai donnée d'un nombre premier dans un anneau redonne bien la "définition intuitive dans " : l'égalité devient dans , , d'où, puisque est intègre, ou , c'est-à-dire que les seuls diviseurs d'un nombre premier sont les inversibles et les éléments de la forme , avec u inversible.

[Seirios]

J'ai trouvé cette définition d'un élément premier dans un anneau dans un cours d'algèbre, donc elle semble bien être correcte. De plus, je ne le savais pas, mais les notions d'éléments irréductible et premier ne sont en générale pas confondues, donc il faut passer par les idéaux premiers.

Sinon quelqu'un aurait-il déjà rencontré la notion d'élément premier dans d'autres structures que l'anneau ?

[A voir en vidéo sur Futura]