Fonction zeta de Riemann

**Seirios** · 31/12/2009, 09h18

Bonjour,

La même question a été posée ici : http://forum.prepas.org/viewtopic.ph...22993&p=282090.

invite1e1a1a86 · 31/12/2009, 09h30

c'est la même chose avec $\text{[math]}$ sur [-1,1[

si j'utilise cette formule en dehors de son domaine de validité, je tombe sur des truc bizarre.

c'est encore (à peu près) la même chose avec
$\text{[math]}$ pour x>0,pour x négatif, cette formule ne marche pas.

la on à une fonction défini sur $\text{[math]}$ que l'on peut prolonger (si on la voit comme une fonction complexe),il se trouve que le prolongement est unique (si analytique) et donc qu'on écrit que c'est la même fonction.

invite0fa82544 · 31/12/2009, 17h10

Envoyé par coco888

$\text{[math]}$

Ramanujan a aussi trouvé ce résultat étrange, par des moyens que nul n'a élucidé (il était autodidacte !).
Cela lui a valu ce commentaire acerbe de Hill : ``M. Ramanujan est tombé dans l’abîme du sujet, ô combien ardu, des séries divergentes”
La réponse à votre question a été dnnée plus haut : la série $\text{[math]}$ ne représente la fonction de Riemann que dans le demi-plan $\text{[math]}$ .
Bonne année !

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invite793ba186 · 03/01/2010, 01h56

Merci pour vos réponses

Est-ce que ca veut dire qu'on peut dire que 1+1+1+... diverge dans le corps des réels mais converge et vaut -1/2 si on regarde cette somme dans le corps des complexes?
Bonne année 2010 à tous!

invite0fa82544 · 03/01/2010, 09h46

Envoyé par coco888

Merci pour vos réponses

Est-ce que ca veut dire qu'on peut dire que 1+1+1+... diverge dans le corps des réels mais converge et vaut -1/2 si on regarde cette somme dans le corps des complexes?
Bonne année 2010 à tous!

Non, car la série convergeant quel que soit $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ , elle converge pour tous les $\text{[math]}$ réels tels que $\text{[math]}$ .

invite793ba186 · 03/01/2010, 12h12

Je ne comprends pas ta réponse Armen92 car en faisant le prolongement analytique de zeta on a une série convergente pour z=0 et z=-1.
Comment est-ce que tu comprends ce résultat toi? ca ne te perturbe pas?

invite57a1e779 · 03/01/2010, 12h17

Envoyé par coco888

en faisant le prolongement analytique de zeta on a une série convergente pour z=0 et z=-1.

Le prolongement analytique de $\text{[math]}$ n'est pas donné par la série $\text{[math]}$ lorsque $\text{[math]}$ .

Un question simple : on définit $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ; quel est le prolongement analytique pour $\text{[math]}$ ?

invite793ba186 · 03/01/2010, 12h45

Envoyé par God's Breath

Un question simple : on définit $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ ; quel est le prolongement analytique pour $\text{[math]}$ ?

c'est $\text{[math]}$ , non? mais je ne vois pas où tu veux en venir...

invite57a1e779 · 03/01/2010, 13h12

Je veux simplement rappeler que la relation $\text{[math]}$ est valable seulement pour $\text{[math]}$ positif, et que l'explicitation de la valeur d'une fonction analytique dépend du domaine sur lequel on se place.

La relation $\text{[math]}$ est valable seulement pour $\text{[math]}$ . Le fait que $\text{[math]}$ soit analytique sur $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ soient définis, ne rend pas la série convergente pour $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

invite0fa82544 · 03/01/2010, 13h15

Envoyé par coco888

Je ne comprends pas ta réponse Armen92 car en faisant le prolongement analytique de zeta on a une série convergente pour z=0 et z=-1.
Comment est-ce que tu comprends ce résultat toi? ca ne te perturbe pas?

Le prolongement analytique peut s'effectuer de bien des façons ; l'une d'entre elles est d'utiliser la relation fonctionnelle de Riemann (1859) :
$\text{[math]}$ ,
où nulle série n'apparaît. La définition première de $\text{[math]}$ exige de se placer à droite de $\text{[math]}$ .
Non, non, rien ne me perturbe !!!

invite0fa82544 · 03/01/2010, 13h22

Envoyé par God's Breath

Je veux simplement rappeler que la relation $\text{[math]}$ est valable seulement pour $\text{[math]}$ positif, et que l'explicitation de la valeur d'une fonction analytique dépend du domaine sur lequel on se place.

L'égalité $\text{[math]}$ peut se prolonger au plan complexe en $\text{[math]}$ à condition de définir sans ambiguïté la fonction multiforme $\text{[math]}$ . Cela fait, tout est parfaitement défini puisque l'on sait ce qu'est $\text{[math]}$ quand $\text{[math]}$ .

invite793ba186 · 03/01/2010, 13h27

Envoyé par God's Breath

Je veux simplement rappeler que la relation $\text{[math]}$ est valable seulement pour $\text{[math]}$ positif, et que l'explicitation de la valeur d'une fonction analytique dépend du domaine sur lequel on se place.

La relation $\text{[math]}$ est valable seulement pour $\text{[math]}$ . Le fait que $\text{[math]}$ soit analytique sur $\text{[math]}$ , et que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ soient définis, ne rend pas la série convergente pour $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ .

Mais on a le droit d'écrire que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , non?
Et le fait d'assigner la valeur -1/12 à la somme 1+2+3+4+... est utilisé pour la renormalisation, n'est-ce pas?

invite57a1e779 · 03/01/2010, 13h38

Envoyé par coco888

Mais on a le droit d'écrire que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , non?

On a le droit de l'écrire (comme on a le droit de rouler à 180 km/h sur l'autoroute...), mais ça reste faux.

De la même façon que, si je pose $\text{[math]}$ , j'ai le droit d'écrire $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ...

invite0fa82544 · 03/01/2010, 13h49

Envoyé par coco888

Et le fait d'assigner la valeur -1/12 à la somme 1+2+3+4+... est utilisé pour la renormalisation, n'est-ce pas?

Certes, c'est la " $\text{[math]}$ -regularization" standard, qui repose (implicitement) sur le prolongement analytique. A partir du moment où on sait que la fonction de Riemann se prolonge, on est fondé à écrire des égalités dont le caractère symbolique ne doit toutefois pas échapper.

Fonction zeta de Riemann