Equation laplace

[invite1cf28ac3]

Bonjour je dois resoudre
f"(t) + 2 f' (t) + 2 f(t) = e (-t)

f (o) =1
f'(o) = 0
f (t) = 0 si t inf 0

j'arrive à

L (f) (t) = 1 / ( (1+p) (p²+2p +2 )) + (p +2) / (p²+2p+2)

et mnt je bloque

quelqu'un pourrait-il m'aider svp?
Merci d'avance.
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[invite6f25a1fe]

Il faut maintenant faire une transformée de Laplace inverse. Pour cela, il faut utiliser les transformées inverses usuelles. Pour les fractions trop complexes, il faut passer par une décomposition en éléments simples

[invite1cf28ac3]

je comprends tjrs pas : c'est une fraction qu'il faut décomposer là et j'arrive pas à trouver la transformée d elaplace inverse la j'ai
1 / (1+p) (p²+p+2) + (p+2) / (p²+p+2) à décomposer !!!

PS : la transformee inverse de juste p+2 / (p²+p+2) c'est quoi???

[invite6f25a1fe]

je comprends tjrs pas : c'est une fraction qu'il faut décomposer là et j'arrive pas à trouver la transformée d elaplace inverse la j'ai
1 / (1+p) (p²+p+2) + (p+2) / (p²+p+2) à décomposer !!!

PS : la transformee inverse de juste p+2 / (p²+p+2) c'est quoi???

par exemple, pour L(f)=p+2/(p²+p+2), tu peux récrire ca de la façon suivante :
L(f)=p/(p²+p+2) + 2/(p²+p+2)

pour 1/(p²+p+2), il faut utiliser la formule :

Donc on voit que a=1/2, et K=1/w

tu obtiens donc ta transformée inverse g(t) de 1/(p²+p+2)

Pour finir, on utilise le fait qu'une multiplication par p, correspond à une dérivation.

d'où f(t)=g'(t)+2.g(t)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1cf28ac3]

merci c'est compliqué la fin il faut deriver 1 / p²+p+2 + 2 * 1/ (p²+p+2)
je comprends pourquoi le plus 2 g (t)
c'est quoi la formule finale merci d'avance

[invite6f25a1fe]

On avait cette équation au départ :

L(f)=p/(p²+p+2) + 2/(p²+p+2)

j'ai donc calculé la transformée inverse g(t) de G(p)=1/(p²+p+2)
On a donc L(f)=p*G(p)+2*G(p) ce qui se traduit par transformée inverse par :
f(t)=g'(t)+2*g(t) puisque la transformée à pour propriété que L(g'(t))=p*L(g(t))=p*g(p)

d'où f(t)=g'(t)+2.g(t)

[invite1cf28ac3]

merci beaucoup