Continuité d'une fonction !

[invite9a2b192b]

salut j'ai résolu cet exercice

"Montrer que si f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires et est injective, alors elle est continue.avec f définie de R dans R"

mais probablement ma résolution est fausse alors si quelqu'un pouvait trouver ou est ma faute je serais vraiment reconnaissante
voila la résolution que je propose

" on f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (cad)pour tout a, b de R avec a < b, pour tt y compris entre f(a) et f(b), il existe X dans [a, b] tq f(x) = y.
donc f est surjective sur [a, b]de plus elle est injective donc elle est bijective sur [a, b]
elle est donc forcément continue."
Et merci d'avance!
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[ichigo01]

Salut !

Je pense que ta condition de "f vérifie la propriété des valeurs intermédiaires" nous donne déjà que f est continue sur un intervalle [a,b] n'est ce pas ?

Est ce qu'on peut le généraliser pour tout R ? !

Cordialement !

[invite9a2b192b]

Si elle est continue sur [a,b] pour tout a,b de R on ne peut pa conclure pour tout R!?

[ichigo01]

Si elle est continue sur [a,b] pour tout a,b de R on ne peut pa conclure pour tout R!?

Mais est ce que vous avez dans l'énoncé pour tout a , b de R ?

Y a t-il pas une indication sur l'intervalle dans le quel f verifie le T.V.I ? je pense que ce n'est pas sur tout R car si c'était le cas , f est donc continue dans R , et donc l'exercice n'aura plus d'intérêt !

Cordialement !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

je pense que ce n'est pas sur tout R car si c'était le cas , f est donc continue dans tout R

Non. Par exemple la fonction définie sur par vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur tous les intervalles () mais n'est pas continue à l'origine.

Si et sont de même signe, vérifie la propriété des valeurs intermédiaires sur car elle y est continue.

Si alors il existe un entier tel que et tout élément de admet un antécédent dans (car ), donc dans . Par conséquent vérifie aussi la propriété des valeurs intermédiaires sur cet intervalle.

(On traite de la même manière le cas .)

[invite9a2b192b]

Et alors pour la démonstration de l'exo je fais quoi?

[Flyingsquirrel]

Et alors pour la démonstration de l'exo je fais quoi?

Je ne sais pas. Par contre j'ai vu plusieurs erreurs dans ton raisonnement. D'une part n'a a priori aucune raison d'être surjective (par exemple l'arctangente (vue comme fonction de dans ) vérifie toutes les hypothèses de l'énoncé mais n'est pas surjective). D'autre part une bijection n'est pas forcément continue. C'est pas exemple le cas de la fonction définie sur par

[Thorin]

Et alors pour la démonstration de l'exo je fais quoi?

Salut,
je te propose le plan d'attaque suivant:

1-montrer que f est strictement monotone (par exemple par l'absurde)
2-en déduire que les limites à droite et à gauche en chaque point existent
3-puis que ces limites sont égales à la valeur de f en ce point (par exemple par l'absurde)