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Fonctions absolument monotones



  1. #1
    flashcordon

    Fonctions absolument monotones


    ------

    Bonjour ô amazones de la science

    voila je sèche sur une question de DM qui est la suivante:
    Quelles sont les fonctions f absolument monotones sur [0,+infini[ telles que f' est bornée?

    Pourriez vous m'orienter dans la recherche d'une solution svp?



    Merci bien!

    -----
    La culture, c'est comme la confiture: moins on en a, plus on l'étale!

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  4. #2
    God's Breath

    Re : fonctions absolument monotones ^^'

    Si est absolument monotone sur , alors, sur cet intervalle, , donc est croissante, donc est convexe.

    Tu te retrouves avec une fonction qui, sur , est positive, croissante, convexe, bornée : ça ne court pas les rues...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  5. #3
    flashcordon

    Re : fonctions absolument monotones ^^'

    merci infiniment god's breath
    La culture, c'est comme la confiture: moins on en a, plus on l'étale!

  6. #4
    flashcordon

    Re : fonctions absolument monotones ^^'

    par contre (désolé pour le double post j'ai manqué la fonction éditer --'), un doute subsiste:en quoi le fait que f' soit bornée intervient il dans la démonstration?
    La culture, c'est comme la confiture: moins on en a, plus on l'étale!

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  8. #5
    God's Breath

    Re : fonctions absolument monotones ^^'

    Si est absolument monotone sur , alors est positive, croissante, convexe sur .

    Il y a des tas de fonctions qui ont ces propriétés : , ...
    Mais elles ne sont pas bornées.

    En imposant en plus à d'être bornée, on limite drastiquement les possibilités ; je te conseille de faire des dessins de fonctions croissantes et convexes, et de voir ce qu'impose le fait d'être bornée.
    Dernière modification par God's Breath ; 02/01/2010 à 14h36.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  9. #6
    flashcordon

    Re : fonctions absolument monotones ^^'

    au risque de passer pour un cancre, je ne vois pas quel effet ca aurait, à moins de rendre la fonction bornée (je dis peut être un énormité mais au point où j'en suis...)?

    (pas taper)
    La culture, c'est comme la confiture: moins on en a, plus on l'étale!

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  11. #7
    God's Breath

    Re : fonctions absolument monotones ^^'

    Il me semble qu'une fonction croissante et bornée a une fâcheuse tendance à présenter des phases de concavité, par exemple .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  12. #8
    flashcordon

    Re : Fonctions absolument monotones

    ah oui tiens

    merci pour ta patience god's breath , je comprends mieux maintenant

    bon tu vas dire que je chipote mais on vient ("tu" viens ^^') de prouver que f était convexe, alors une fonction convexe avec des phases de concavité ca me parait assez bizzare à moi...je me trompe?
    La culture, c'est comme la confiture: moins on en a, plus on l'étale!

  13. #9
    God's Breath

    Re : Fonctions absolument monotones

    Tu ne te trompes pas, c'est bien pour cela que j'ai dit que des fonctions positives, croissantes, convexes, bornées, ça ne court pas les rues.

    Ton problème est en fait de prouver que f' est constante.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #10
    Dydo

    Re : Fonctions absolument monotones

    Fais un dessin (ça doit toujours être le premier réflexe lorsqu'il s'agit de convexité), dessine quelques tangentes et souviens-toi des propriétés de localisation des courbes de fonctions convexes par rapport à leurs tangentes. Que se passe-t-il si elle n'est pas constante ?

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