convergence des suites monotones

[invite3ac51b88]

Bonjour
j'ai plusieurs petits exercices a faire pour demain sur les suites et j'aurai besoin d'indications..

Soit la suite (Un) definie par Un=1/(n+1) - 1/(n+2)
est-elle bornée ?
Je sais qu'il faut que je trouve un majorant et un minorant mais je sais pas comment commencer...
je dois decomposer la suite en 2 autres suites pour travailler sur chacune d'entre elles....
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[invite5fb20d44]

Soit la suite (Un) definie par Un=1/(n+1) - 1/(n+2)
est-elle bornée ?

Calcule les cinq, six premiers termes, qu'est-ce que tu constates ? Reste à le démontrer.

[invite3ac51b88]

Un=1/(n+1) - 1/(n+2)

U1=1/2 - 1/3 =1/6
U2=1/3-1/4 =1/12
U3=1/4 -1/5 = 1/20
U4=1/5 -1/6 = 1/30
U5=1/6 -1/7 = 1/42

elle diminue je peux dire que son majorant est 1/6 pour U1

[invite5fb20d44]

Un=1/(n+1) - 1/(n+2)

U1=1/2 - 1/3 =1/6
U2=1/3-1/4 =1/12
U3=1/4 -1/5 = 1/20
U4=1/5 -1/6 = 1/30
U5=1/6 -1/7 = 1/42

elle diminue je peux dire que son majorant est 1/6 pour U1

Sauf si on la fait commencer au rang 0, auquel cas il faudra plutôt choisir 1/2 comme majorant.

Et comme minorant ?

Un conseil pour faciliter les calculs : pense à simplifier l'expression de la suite. Tout mettre dans une même fraction permettra probablement d'aboutir rapidement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3ac51b88]

je peux chercher la limite en +oo et -oo pour dire que la suite est bornée?

[invite5fb20d44]

je peux chercher la limite en +oo et -oo pour dire que la suite est bornée?

En -oo ça n'aurait pas trop de sens, les indices d'une suite sont toujours positifs (au lycée du moins).

Déterminer la limite (si elle existe) te permettrait bien d'affirmer que la suite est bornée, mais pas de déterminer des bornes.

Ce qu'il te faut faire ici, je pense, c'est d'effectuer la soustraction (après avoir réduit au même dénominateur). Tu verras que tu peux facilement encadrer ce dénominateur, et le numérateur sera particulièrement sympathique.

Au fait, as-tu deviné un minorant ?

[invite3ac51b88]

pour le minorant j'aurai di 0 mais bon

[invite5fb20d44]

pour le minorant j'aurai di 0 mais bon

OK. Ben, maintenant effectue la simplification et dis-nous ce que tu trouves. Tu verras, ce sera rapide après.

[invite3ac51b88]

on a Un= 1/n²+3n+2

[invite5fb20d44]

on a Un= 1/n²+3n+2

Super. Sachant que , peux-tu minorer le dénominateur par un entier positif ?

[invite3ac51b88]

n²>=0
n²+3n>=3n
n²+3n+2>=3n+2

[invite5fb20d44]

n²>=0
n²+3n>=3n
n²+3n+2>=3n+2

Et donc ?

[invite3ac51b88]

3n>=2, 2 minorant de la suite

[invite5fb20d44]

3n>=2, 2 minorant de la suite

Pas la suite, le dénominateur.

On a donc . Il ne reste plus qu'à passer à l'inverse !

[invite3ac51b88]

1/n²+3n+2>=1/2

[invite5fb20d44]

1/n²+3n+2>=1/2

Piège ! Si alors .

Applique-le à ton expression et tu as presque fini.

[invite3ac51b88]

oui c'est vrai pffff

on a 1/n²+3n+2=<1/2
donc 1/2 est un majorant de la suite Un

[invite5fb20d44]

oui c'est vrai pffff

on a 1/n²+3n+2=<1/2
donc 1/2 est un majorant de la suite Un

Tutafé. Et en prime, tu obtiens un minorant. Fin de l'exo
Bonne soirée !