Problème math appliquée

[invite37bcd439]

Dans une enceinte de volume constant s'agitent des objets à la concentration x(t).

Un morceau de paroi de l'enceinte est frappée par les objets selon une loi de poisson. La fréquence des chocs est k*x(t), où k est une constante cinétique d'ordre 2 (unité: 1/temps.concentration)

Les objets disparaissent définitivement dès qu'ils frappent ce morceau de paroi. On part de x(t)=x0 à t=t0.

Question: selon quelle fonction x(t) décroît-il au cours du temps?

mes soucis:
k*t ayant une unité (1/concentration), aucune des solutions (fausses) auxquelles j'avais pensé n'est valable, comme décroissance exponentielle x(t)=x0*exp(-kt), ou x(t)=x0/(1+kt)

Help!!!
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[invite57a1e779]

A l'instant , le nombre d'objets présents dans l'enceinte est .
Entre les instants et , la fréquence des chocs est , et il se produit donc chocs, c'est-à-dire qu'il disparaît objets : à l'instant , il ne reste que objets dans l'enceinte, donc une concentration .

On a donc et d'équation différentielle .

La loi de décroissance de la concentration en fonction du temps est donc .

[invite37bcd439]

OK en divisant par V, la grandeur de l'exposant devient un nombre d'objets, donc sans unité?

un grand merci et bravo

[invite57a1e779]

Oui, parce qu'une concentration, c'est mesuré en "nombre d'objets/volume", c'est-à-dire en "1/volume" puisque le nombre d'objets n'a pas d'unité.
Il faut bien comprendre que k est mesuré en
1/(temps.concentration) = 1/(temps/volume) = volume/temps,
donc k/V est mesuré en "1/temps", c'est bien une fréquence.

[A voir en vidéo sur Futura]