1 equation 1 inconnue

[invite37bcd439]

Bonjour,

SVP existe-t-il une solution à ce genre d'équation:

a*x+ln(x)=b

x inconnue, a et b constantes

merci d'avance
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[phryte]

Bonjour.
Regarde la fonction W de Lambert.

[invite37bcd439]

merci phryte mais c'est compliqué pour moi; dites moi juste: est-ce qu'il y a une solution réelle mais qu'on ne peut pas écrire?

[God's Breath]

Il suffit d'étudier les variations de la fonction . On obtient une discussion relativement simple :

1. si , l'équation admet une solution unique qui ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles ;

2. si , l'équation admet une solution unique : ;

3. si , alors

3.1. si , l'équation n'a pas de solution ;
3.2. si , l'équation a la solution unique ;
3.3. si , l'équation a deux solutions distinctes qui ne s'expriment pas à l'aide des fonctions usuelles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[krikor]

Bonjour.
f(x)=a^x+lnx-b ou x>0 et a>0
si x-->0; f(x)-->-inf
si x-->+inf; f(x)-->+inf;alors f(x°)=0; ou 0<x°=?.

[Scorp]

Bonjour.
Regarde la fonction W de Lambert.

Moi ca m'intéresse. Comment fais tu pour utiliser la fonction de Lambert avec ce genre d'équation ?
Merci d'avance

[phryte]

Bonjour.
Je calcule avec maple :

solve(a*x+ln(x)-b,x);a:=10;b:=1;fsolve(a*x+ln(x)-b,x);

[God's Breath]

Comment fais tu pour utiliser la fonction de Lambert avec ce genre d'équation ?

Avec , l'équation est équivalente à , donc à .

La solution est donnée par , soit .

[Scorp]

Avec , l'équation est équivalente à , donc à .

La solution est donnée par , soit .

ok, merci.
Et d'un point de vue programmation, ca se passe comment : cette fonction est tabulée comme toutes les autres fonctions (par exemple dans Matlab ?)
En terme de temps de calcul, si je veux résoudre l'équation proposée ax+ln(x)=b, est ce qu'utiliser la fonction W me permet un gain de temps par rapport aux autres méthodes ? (il me semble qu'on fait pour ce genre d'équation souvent des méthodes par itérations pour rechercher le zéro de la fonction ax+ln(x)-b, ce qui est assez couteux, non ?)

[God's Breath]

Pour savoir si la fonction est tabulée dans Matlab, que je ne connais pas, il faut regarder dans la documentation. Maple sait calculer les valeurs de la fonction W de Lambert.

Si on implémente une méthode de Newton pour résoudre l'équation, on a une convergence quadratique vers la solution, ce qui n'est finalement pas très coûteux. Pour savoir s'il est plus économique d'utiliser la version tabulée de la fonction W, il faudrait connaître l'algorithme de calcul afin d'estimer son coût.

[Scorp]

ok, merci bien, j'essaierai ca quand j'aurais Matlab sous la main.