VAR à densité

[inviteb64a2f8e]

Bonjour et joyeuse année 2010 à tous !

Voilà on vient de commencer le cours sur les VAR à densité et je n'arrive pas trop à comprendre comment l'appliquer dans les exercices. Je vous serais donc reconnaissant de me donner quelques pistes ! Voilà l'énoncé :

Soit des VAR indépendantes sur , de même loi uniforme sur .
On pose et . On admet que et sont des variables aléatoires sur .

Question 1 :

Montrer que et sont des VAR à densité et en déterminer des densités

=> Une densité de la loi uniforme sur est telle que si et sinon.
Donc f est positive, f est continue sur et . Donc les VAR sont des VAR à densité.

Et donc est-ce que j'ai le droit de dire qu'en fait et sont juste une VAR particulière donc ce sont des VAR à densité ?

Et sinon je ne vois pas comment trouver une densité de et =S

Question 2 :

Calculer et

=> Là je pense qu'il suffit de calculer et avec une densité de et une densité de .

Mais le problème est que je ne sais toujours pas comment déterminer ces densités.


Voilà comme vous le voyez cet exercice est facile mais je ne comprends pas comment déterminer les densités de et et je ne suis pas sûr de mon raisonnement en question 1. Je vous serais donc très reconnaissant de me donner un petit coup de pouce !

Merci à tous !

ZimbAbwé.
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[invite57a1e779]

Et donc est-ce que j'ai le droit de dire qu'en fait et sont juste une VAR particulière donc ce sont des VAR à densité ?

Attention, n'est pas l'une des , et de même pour .

Tu dois calculer la densité via la fonction de répartition.

Le plus simple est celle de : .
Or , donc , et l'indépendance des permet le calcul de la probabilité de l'intersection des événements.

Mais le raisonnement ne fonctionne pas tel quel pour ; il faut utiliser ici , donc , et .

[inviteb64a2f8e]

Ah d'accord il faut repasser par les événements ! Merci beaucoup !

Mais donc pour montrer que et sont des VAR à densité je n'ai pas le droit de raisonner comme je l'ai fait ?

En fait je ne comprends pas bien si est la VAR qui prend les plus petites valeurs ou si c'est les plus petites valeurs prises par une . Ca me semble plus logique que ce soit la VAR qui prend les plus petites valeurs mais dans ce cas j'aurais le droit de raisonner comme je l'ai fait non ? Or vous m'avez dit que je ne pouvais pas donc là j'avoue que je ne comprends plus trop =S

[invite57a1e779]

Attention, les variables aléatoires sont des applications définies sur .

Pour tout élément de , la valeur est l'une des valeurs , la plus petite, mais la variable qui fournit le minimum n'est pas la même pour tous les .

Ainsi n'est pas l'une des bien que, pour tout , soit l'un des .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

Ah d'accord je comprends merci !

Mais alors comment je fais pour montrer que et sont des VAR à densité ?

Est-ce que je peux utiliser les événements comme vous l'avez fait avant en disant que et donc, comme est une VAR à densité, l'intersection des est une VAR à densité et donc est une VAR à densité (et de même pour ) ?

Je sais que je suis un peu borné à vouloir absolument passer par pour montrer que et sont des VAR à densité, mais ça me paraît assez logique de cette façon.

[invite57a1e779]

Mais alors comment je fais pour montrer que et sont des VAR à densité ?

On calcule les fonctions de répartition et , et on vérifie qu'elles peuvent s'exprimer par des intégrales de fonctions et , qui sont les densités cherchées.

[inviteb64a2f8e]

D'accord merci !

Juste une toute petite dernière question sur les VAR à densité mais qui n'a pas de rapport avec l'exercice :

Je voudrais déterminer la loi de (avec ) sachant que suit une loi uniforme sur .

On a . Je connais mais comment je fais pour passer à ?

Merci beaucoup pour votre aide !

[invite57a1e779]

Tout simplement en remplaçant par dans l'expression de .

On a , donc ; le premier cas étant particulièrement inutile, on a .

[inviteb64a2f8e]

Merci beaucoup je ne savais pas qu'on avait le droit de le faire comme cela !

En tout cas merci beaucoup pour votre aide !

Bonne soirée !