Opérateur Autoadjoint

[invitede8302a1]

Bonjour,

Sur H=L2(0, pi) (fonctions de module carré intégrable), on considère l'opérateur H0 de - dérivée seconde (au sens des distributions) défini sur dom(H0) = {fonctions de H nulles sur le bord, deux fois dérivables à dérivée dans H}.
J'aimerais montrer que H0 est symétrique puis autoadjoint.
Par deux IPP, je sais montrer que (H0u, v)=(u, H0v) mais pourriez vous m'aider sur la rédaction stricte (pour l'inclusion des domaines entre H0 et son adjoint).
Par ailleurs, je pense que (H0u, v)=(u, H0v) a un sens pour v dans dom(H0) donc je ne vois pas ce qu'il faut montrer de plus pour que H0 soit autoadjoint ?

Merci
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[invitec1ddcf27]

Bonjour,

alors si je comprend bien, il 'sagit de l'opérateur définit par



ou est l'espace de Sobolev (j'aime bien noter A les opérateurs). Une première remarque, par injection de Sobolev, les fonctions sont continues. Déja, l'opéateur est symétrique. Car avec la formule de Green sur H^1 (qui s'obtient par densité), on calcule facilement



ceci pour tout . Donc , c'est-à-dire que l'adjoint est une extension de A. Il reste à montrer que . Il faut commencer par se rappeler que



Soit . Alors, il existe tel que



Avec la formule de Green dans H^1, on obtient

= ....

encore une intégration par partie avec Green. Tu reviens à l'égalité de départ, et tu obtient un truc du genre (théorie des distributions)



Ce qui donne . Reste à regarder pourquoi v est nulle en zéro et pi. Et tu aura . Et finalement