Compact, fermé borné complet... vrai?

[invited84210a7]

Bonjour à tous,

je me demandais si compact était équivalant à fermé borné complet.

Car:
compact implique les 3:
- u_n converge implique u_n converge dans le compact en extrayant une sous suite
- borné : si c'est pas borné, on prend une suite qui tend en norme vers l'infini, ça va être dur d'extraire une sous suite convergente
- complet : de toute suite de Cauchy on peut extraire une sous suite convergente. Donc ça va converger (ou alors j'ai loupé un passage)

Mais la réciproque... je ne vois pas. Dans le cas général évidemment: dimension quelconque, corps de référence quelconque etc...

Merci d'avance,
Pierre
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[invite986312212]

bonjour,

déjà, la compacité est une notion topologique et pas métrique.

[invited84210a7]

la fermeture aussi...
Je pense que la réciproque est fausse. Mais il faudrait un contre exemple...

[invite986312212]

dans un espace de Banach de dimension infinie, la boule unité fermée est bien un fermé borné complet mais n'est pas compacte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited84210a7]

Merci pour cet exemple, mais pourrais-tu expliquer pourquoi cette boule est complète?
Pour sa non compacité, c'est évident.
Merci,
Pierre

[invitef079b53b]

Bonjour,
Cette boule unité est complète car elle est fermée!
Il y a effectivement un résultat faisant intervenir la complétude : uu peux montrer que dans un espace métrique, il y a équivalence à être compact et précompact+complet.
Cordialement

Erik

[invited84210a7]

Je ne suis pas d'accord.

Q est un Q-ev, donc Q est fermé dans Q (toute suite convergeant dans Q converge dans Q), mais Q n'est pas complet.

A moins que ma définition de "fermé" soit fausse.
Pour moi: A est un fermé de E si toute suite d'éléments de A convergeant dans E converge dans A

[KerLannais]

Salut

Il semble que la question soit dans le cadre des espaces métriques. De toute façon la réponse est non quand même.

Intuitivement la définition de compacité à l'aide de sous-suite convergente dit que si quelqu'un se ballade dans un compact, au bout d'un temps infini il fini par repasser indéfiniment par (ou pas très loin) un ou plusieurs endroits. Grosso modo on tourne en rond comme un étudiant dans une chambre de cité U
Parmis les défauts de compacité possibles il y a effectivement, par ordre d'évidence,
1) l'ensemble est non borné, on peut se ballader à l'infini sans jamais repasser sur ses pas
2) l'ensemble est non fermé, on peut se ballader en direction d'un trou de l'ensemble sans jamais l'atteindre et sans repasser sur ses pas (comme quelqu'un aspiré par un trou noir)
3) l'ensemble est non complet, il a donc quand même un trou même s'il est fermé mais le problème vient du fait que l'espace total est incomplet (dans un espace métrique complet les fermés sont complets), on se ballade comme en 2) vers un trou de l'ensemble qui est aussi un trou de l'espace contenant l'ensemble.

On pourrait croire que ce sont les seuls défauts possible mais non. Le théorème de Riesz dit que la boule unité fermée (complète) d'un espace vectoriel normé (et donc espace métrique) est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie.

Autrement dit, on peut rajouter
4)dans un fermé borné complet d'un espace vectoriel de dimension infinie on peut se ballader sans revenir sur ses pas, en changeant à chaque pas de dimension (on peut se le permettre il y en a une infinité). On peut s'évader en voyageant dans des dimensions parallèles comme dans sliders

la liste des défaults que j'ai donné n'est pas exhaustive mais c'est les seuls que je connaisse

[invite986312212]

Merci pour cet exemple, mais pourrais-tu expliquer pourquoi cette boule est complète?
Pour sa non compacité, c'est évident.

ah tiens, j'aurais dit le contraire: évident que la boule unité fermée B est complète car une suite de Cauchy de B est toujours une suite de Cauchy de E qui est complet, donc a une limite dans E et cette limite est dans B car B est fermée. Mais montrer que B n'est pas compacte me semble moins trivial. Je ne me souviens plus de comment on montre ça (un théorème de Riesz je crois).

[invited84210a7]

Merci à tous pour ces précisions
En effet je connaissais le théorème de Riesz, qui est très simple à démontrer dans le cadre d'un evn en prenant une suite de vecteurs de norme 1 et orthogonaux deux à deux. (pour un espace métrique, j'avoue ne pas savoir)

[invite986312212]

ah ok, mais attention, qui dit vecteurs orthogonaux pense espace de Hilbert. Un Banach est juste un e.v.n. complet.

[invited84210a7]

oups c'est vrai ca... au temps pour moi

[invite986312212]

ben je viens de regarder dans le cours de Schwartz: le théorème de Riesz y est énoncé pour des espaces vectoriels topologiques (même pas normés donc) et la preuve est très courte (mais c'est schwartz, ses démonstrations sont toujours ... compactes)