Equations différentielles

[invitee330a48f]

Bonjour, voilà j'ai un exercice avec une équation différentielle, dont l'équation est dS/dt = at-kS, et on doit la résoudre.
Dans le corrigé, elle a été résolu comme ceci :
dS/dt = at-kS
<=> dS/dt+kS = at

Pourquoi a-t-on mit que cette équation soit égale à at? Ne doit on pas normalement regrouper at et dt d'un côté et dS et kS de l'autre?

Ensuite dans le corrigé on a recherché la solution générale de l'équation sans second membre, la solution est, avec lambda une constante arbitraire : S₀(t) = lambda.e^(-kt), mais comment a-t-on fait pour trouver ça?
-----

[invite78db18db]

Ici les variables ne sont pas séparables donc on fait comme dans ton corrigé.
Tu places d'un côté une fonction dépendant du temps et de l'autre une combinaison linéaire de dérivée de ta fonction.

Dans le premier cas tu cherches une solution de l'équation homogène, c'est à dire sans second membre.
Ensuite tu lui ajoutes une solution particulière.

Pour le résultat de l'équation homogène :
ds/dt+ks=0 => ds/s=-kdt donc ln(s(t)/s(0))=-kt
d'où s(t)=exp(-kt)s(0)