Exercice suite numérique

[invitec889b802]

Bonjour,

J'essaie de résoudre l'exercice suivant, mais rien à faire, je tourne en rond. Pourriez-vous m'aider?
u_n = 1/2 (u_n-1 + u_n-2) pour tout n >= 2

1)Montrer que si u₀ <= u_n <= u₁, la suite (u_2n)n est croissante et la suite (u_2n+1)n est décroissante. Etudier le cas où u₁ < u₀
2)Vérifier que |u_n+1 - u_n| = 1/2ⁿ|u₁ - u₀|. En déduire que la suite u est convergente.

J'ai tout essayer, y compris la récurrence, je n'arrive pas à conclure à aucune des questions.

Merci,

Celine
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[invite899aa2b3]

Bonjour.
Pour la première je suppose que tu as calculé .
Qu'est-ce que le calcul a donné?

[invitec889b802]

Bonjour,

j'ai mal écrit l'énoncé de la première question :
1) montrer que si u₀ <= u₁ on a u₀<=u_n <=u₁, la suite (u_2n)n est croissante et la suite u_2n+1 est décroissante.

j'ai essayé de prouver par récurrence que u₀ <= u_n <= u₁
je n'arrive pas à prouver l'hérédité, à savoir que u₀ <= u_n+1 <= u₁

Merci

Céline

[invitec889b802]

Bonjour,

u_n - u_n-1 = 1/2 (u_n-1 - u_n-2) - u_n-1
D'où u_n - u_n-2 = 1/2 u_n-1
Que peut-on conclure?

Merci

Céline

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour,

j'ai essayé de prouver par récurrence que u₀ <= u_n <= u₁
je n'arrive pas à prouver l'hérédité, à savoir que u₀ <= u_n+1 <= u₁

Il suffit de prendre pour hypothèse de récurrence que :
u₀ <= u_n <= u₁ et (c'est parfaitement licite) u₀ <= u_n-1 <= u₁
Et tout devient simple ...

[invitec889b802]

Bonjour,

Il suffit de prendre pour hypothèse de récurrence que :
u₀ <= u_n <= u₁ et (c'est parfaitement licite) u₀ <= u_n-1 <= u₁
Et tout devient simple ...

Non, je n'arrive pas à prouver que si u₀ <= u_n <= u₁, alors u₀ <= u_n-1 <= u₁

Pour l'initialisation, pas de problème, l'énoncé nous dit que u₀ <= u₁, mais l'hérédité me donne u₀ <= 2u_n+1 - u_n-1 <= u₁

Comment conclure?

Merci,

Céline

[invite899aa2b3]

En fait ce que Médiat essaie de te dire c'est que dans la récurrence, tu peux prendre comme hypothèse de récurrence et car la propriété étant vraie jusqu'au rang elle l'est aussi en particulier au rang .

[invitec889b802]

En fait ce que Médiat essaie de te dire c'est que dans la récurrence, tu peux prendre comme hypothèse de récurrence et car la propriété étant vraie jusqu'au rang elle l'est aussi en particulier au rang .

Vous voulez dire prendre comme hypothèse de récurrence :
u₀ <= u_n <= u₁ et u₀ <= u_n-1 <= u₁ et montrer que u₀ <= u_n+1 <= u₁ ?

[invite899aa2b3]

C'est ça.
Je pense que c'est plus profitable que prendre seulement la première car la récurrence qui définit la suite est d'ordre .

[invitec889b802]

C'est ça.
Je pense que c'est plus profitable que prendre seulement la première car la récurrence qui définit la suite est d'ordre .

Oui, c'est sûr, ça marche comme ça. Mais j'ai vraiment le droit de supposer que la proposition est vraie aussi au rang précédent?

En tout cas, merci beaucoup,

Céline

[invitea0db811c]

Bonjour,

du moment que tu vérifie que si la propriété est vérifiée par U(n-1) et U(n), alors elle est aussi vérifiée par U(n) et U(n+1), oui tu as tout à fait le droit. En général tu peux mettre n'importe quel proposition H(n) dans une récurrence, du moment que tu peux prouver " H(n) => H(n+1) " UNIQUEMENT en te servant des hypothèses apportées par H(n) (et aussi l'initialisation bien sur).

Ici la manoeuvre est de rajouter des données dans la proposition H(n) afin de rendre le passage de H(n) à H(n+1) plus simple.

[invitec889b802]

Pour montrer que (u2n)n est croissante, je dois utiliser le fait que u₀ <= u_2n <= u₁?
J'ai calculé u_2n+2/u_2n, je trouve l'encadrement suivant :
u₀/2u₁ <= u_2n+2/u_2n <= u₁/2u₀
Comment conclure? Sinon, par récurrence?

Merci,

Céline

[invitec889b802]

Bonjour,

du moment que tu vérifie que si la propriété est vérifiée par U(n-1) et U(n), alors elle est aussi vérifiée par U(n) et U(n+1), oui tu as tout à fait le droit. En général tu peux mettre n'importe quel proposition H(n) dans une récurrence, du moment que tu peux prouver " H(n) => H(n+1) " UNIQUEMENT en te servant des hypothèses apportées par H(n) (et aussi l'initialisation bien sur).

Ici la manoeuvre est de rajouter des données dans la proposition H(n) afin de rendre le passage de H(n) à H(n+1) plus simple.

Ok, merci beaucoup.