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Suite numérique TS



  1. #1
    -bonbon-

    Suite numérique TS


    ------

    J'ai un petit problème pour deux récurrences.
    Voici l'énoncé :
    On considère la suite numérique (Un) définie sur N par :
    Uo = a et U(n+1)=Un*(2-Un) où a est un réel donné tel que 0<a<1

    a) Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0<Un<1
    b) Montrer que la suite (Un) est croissante
    c) Que peut-on en déduire?

    Voilà pour la partie de l'énoncé où je suis bloqué.

    Pour le a), l'intitialisation s'effectue sans problème :
    0<Po<1

    Mais pour l'hérédité... On suppose 0<Pk<1 et ensuite je suis bloque, je n'arrive pas à revenir à 0<P(k+1)<1
    Et pour le b) je suis encore bloqué à l'hérédité

    Je suppose que pour le c) on doit en déduire que la suite converge vers L inférieur ou égal à 1

    Voilà merci d'avance

    -----

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  3. #2
    nissart7831

    Re : Suite numérique TS

    Bonjour,

    pour la a), ce qui gêne pour déduire un encadrement de Un+1, c'est que Un apparait deux fois dans l'expression de Un+1, même si tu développes.
    Alors justement, développe et ensuite modifie l'expression pour que Un+1 puisse s'exprimer en fonction d'un seul Un (il faut faire apparaitre une expression au carré + un terme résiduel).

    Pour la b), il suffit que tu utilises la définition de la croissance d'une suite et tu conclues en utilisant le résultat de la a).

  4. #3
    -bonbon-

    Re : Suite numérique TS

    Bon alors c'est parti pour le a)
    On a 0<Un(2-Un)<1
    0<2Un-Un^2<1
    Tout cela je l'avais déjà fait, mais qu'est-ce que l'on peut faire ensuite?

  5. #4
    nissart7831

    Re : Suite numérique TS

    Oulah, je suis pas bien sûr que tu aies compris ce qu'est le principe de récurrence.

    Pour qu'on soit clair et avant d'aller plus loin, dis d'abord ce qu'on doit faire en général pour démontrer par récurrence. C'est du cours.

  6. #5
    -bonbon-

    Re : Suite numérique TS

    Bon on a l'initialisation, avec ici 0<Po<1
    Donc Po est vraie

    Hérédité : On suppose que Pk est vraie, c'est à dire que
    0<Pk<1
    On veut montrer que Pk+1 est alors vraie
    Et après je vois pas très bien comment on peut faire.
    Si on part sur 0<Pk+1<1, on arrive à ce que j'ai dit tout à l'heure qui ne mène à pas grand chose...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    nissart7831

    Re : Suite numérique TS

    Ok pour le cours.

    Alors on va y aller par étape.
    Que signifie Pk pour notre exercice ?

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  10. #7
    -bonbon-

    Re : Suite numérique TS

    Pk = Uk, enfin je sais pas trop quoi dire d'autre

  11. #8
    dukeoftunisia

    Re : Suite numérique TS

    t'a déja supposé que 0<Un<1 donc -1<-Un<0
    et puis 1<2-Un<2 et puisque Un>0 donc Un+1>0
    et pour Un+1<1 , tu fais la soustraction Un+1-1 et tu essaye de déterminer son signe .

  12. #9
    nissart7831

    Re : Suite numérique TS

    Par ton utilisation de Pk, en fait tu confonds deux choses : la définition de la démonstration par récurrence et son utilisation.

    La définition est : pour vérifier qu'une propriété P est vraie pour tous les éléments d'une suite,
    - on vérifie que la propriété est vraie pour un élément de la suite. Si c'est le terme de rang 0, on note cela P0. Mais cela ne signifie pas que c'est le terme de rang 0 de la suite P, mais plutôt que la propriété P est vraie pour le terme de rang 0 de la suite qu'on étudie.

    - et en supposant qu'elle est vraie pour le terme de rang k, on doit montrer qu'elle est vraie pour le terme de rang k+1, ce qu'en langage mathématique, on écrit :


    Dans ce qui précède, on peut utiliser n à la place de k.

    En revenant à ton exercice, cela signifie :
    Pn représente la propriété : 0 < Un <1
    Donc, que signifie P0 ?
    Que signifie Pn+1 ?
    Que dois-tu donc démontrer ?

  13. #10
    -bonbon-

    Re : Suite numérique TS

    Po c'est le terme de rang 0 qui vérifie l'encadrement,
    On doit montrer que si Pn est vraie, alors Pn+1 doit être forcèment vraie pour que l'encadrement marche : c'est l'hérédité.
    On doit démontrer que 0<Pn+1<1.
    Comme l'a dit dukeoftunisia, on arrive à Pn+1>1>0

  14. #11
    nissart7831

    Re : Suite numérique TS

    Citation Envoyé par -bonbon- Voir le message
    Po c'est le terme de rang 0 qui vérifie l'encadrement,
    On doit montrer que si Pn est vraie, alors Pn+1 doit être forcèment vraie pour que l'encadrement marche : c'est l'hérédité.
    On doit démontrer que 0<Pn+1<1.
    Comme l'a dit dukeoftunisia, on arrive à Pn+1>1>0
    Tu confonds toujours deux choses : la propriété et le terme de la suite.
    Relis mieux mon message précédent.

    Quand tu dis Pn vraie, c'est bon. Cela signifie que la propriété est vraie au rang n. Ce qui se traduit pour ta suite par 0 < Un < 1 est vraie.
    La propriété est le fait qu'un terme de la suite soit compris entre 0 et 1 strictement.

    En supposant cela, tu dois montrer que Pn+1 est vraie, c'est-à-dire que 0 < Un+1 < 1 est vraie
    L'encadrement est à effectuer sur les termes de la suite (Un) et non sur Pn qui signifie que la propriété P est vraie au rang n.
    En gros, cela signifie que 0 < Pn < 1 ne veut rien dire.

    Une fois ton exercice fini, reviens sur ce que je viens de t'expliquer et essaie de comprendre. Tu devrais mieux voir ta confusion qui risque de te noyer à chaque fois.

    Pour en revenir, à ton exercice, tu dois montrer que 0 < Un+1 < 1 en utilisant le fait que 0 < Un < 1.
    Tu as deux manières de faire :
    - soit en 2 phases comme t'a indiqué dukeoftunisia (il parle bien de Un et non de Pn)
    - soit en 1 seule phase, en utilisant ce que je t'ai indiqué plus haut
    Dernière modification par nissart7831 ; 13/10/2007 à 22h21.

  15. #12
    -bonbon-

    Re : Suite numérique TS

    Je viens de comprendre ce que tu voulais me dire sur la différence entre Un et Pn, merci beaucoup!

    Bon je crois que je vais y aller parce que j'arrive vraiment pas du tout à trouver comment faire, j'y reréfléchis demain et je vous préviens quand j'y arrive.
    Merci beaucoup pour votre aide

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  17. #13
    nissart7831

    Re : Suite numérique TS

    Citation Envoyé par -bonbon- Voir le message
    Je viens de comprendre ce que tu voulais me dire sur la différence entre Un et Pn, merci beaucoup!
    Tant mieux. C'est un bon début.

    A+

  18. #14
    -bonbon-

    Re : Suite numérique TS

    Rebonjour!
    Je crois que j'ai trouvé, vous me dites si ce que j'ai fait ne va pas.
    Initialisation : 0<Uo<1 donc Po
    Alors ensuite en deux étapes, comme l'a déjà fait dukeoftunisia, on a :
    0<Un<1 par hypothèse (c'est la propriété Pn)
    On a alors :
    -1<-Un<0
    1<2-Un<2
    Un<U(n+1)<2Un
    Or, par hypothèse de récurrence, on a :
    0<Un

    Nous avons donc 0<Un<U(n+1)

    Ensuite, j'ai fonctionné par équivalence :
    U(n+1)<1
    ssi U(n+1)-1<0
    ssi Un(2-Un)-1<0
    ssi 2Un-Un^2-1<0

    Et voilà ce que je n'avais pas vu hier, c'est une identité remarquable!
    Nous avons alors :
    ssi - (1-Un)^2 < 0
    Ce qui est vrai pour tout n

    Nous avons alors :
    0<U(n+1)<1

    La propriété P(k+1) est donc vraie, donc Pk est héréditaire et initialisée
    Nous avons donc :
    0<Un<1

    Voilà je passe que c'est bon

    Ensuite pour le b), une suite Un est croissante ssi Un<U(n+1) est vraie pour tout n à partir d'un rang Po
    A partir du rang 0<a=Uo<1, d'après le a) on a :
    Un<U(n+1) pour tout n
    Donc la suite Un est croissante pour tout n

    Voilà, ensuite pour le c), on peut en déduire que comme la suite est croissante et majorée, elle converge vers un réel L<ou égal à 1

  19. #15
    nissart7831

    Re : Suite numérique TS

    Bonjour,

    c'est pas mal tout ça. On voit que tu as compris.
    Je te note en rouge quelques corrections dans ton texte.

    Citation Envoyé par -bonbon- Voir le message
    Rebonjour!
    Je crois que j'ai trouvé, vous me dites si ce que j'ai fait ne va pas.
    Initialisation : 0<Uo<1 donc Po OK
    Alors ensuite en deux étapes, comme l'a déjà fait dukeoftunisia, on a :
    0<Un<1 par hypothèse (c'est la propriété Pn) OK, je crois que tu as bien compris ce que je t'avais expliqué précédemment
    On a alors :
    -1<-Un<0
    1<2-Un<2
    Un<U(n+1)<2Un Oui, car Un > 0, il faut le dire; si Un était négatif les inégalités seraient inversées
    Or, par hypothèse de récurrence, on a :
    0<Un

    Nous avons donc 0<Un<U(n+1)

    Ensuite, j'ai fonctionné par équivalence :
    U(n+1)<1
    ssi U(n+1)-1<0
    ssi Un(2-Un)-1<0
    ssi 2Un-Un^2-1<0

    Et voilà ce que je n'avais pas vu hier, c'est une identité remarquable!
    Nous avons alors :
    ssi - (1-Un)^2 < 0
    Ce qui est vrai pour tout n C'est ce type d'astuce qui permet de montrer l'hérédité en une seule étape, comme je te l'avais indiqué, et non en 2 étapes, mais c'est OK quand même

    Nous avons alors :
    0<U(n+1)<1

    La propriété P(k+1) est donc vraie, donc Pk est héréditaire et initialisée
    Nous avons donc :
    0<Un<1 pour tout n

    Voilà je passe que c'est bon OK

    Ensuite pour le b), une suite Un est (strictement) croissante à partir d'un certain rang ssi Un<U(n+1) est vraie pour tout n à partir d'un rang Po Non pour P0;P0 est la propriété 0 <U0<1; mais ne t'embête pas avec un rang car ici la suite est strictement croissante dans son ensemble, c'est-à-dire à partir du premier élément soit U0;
    A partir du rang 0<a=Uo<1, d'après le a) on a :
    Un<U(n+1) pour tout n Ca correspond bien à ma remarque précédente
    Donc la suite Un est (strictement) croissante pour tout n

    Voilà, ensuite pour le c), on peut en déduire que comme la suite est (strictement) croissante et majorée, elle converge vers un réel L<ou égal à 1 OK

  20. #16
    -bonbon-

    Re : Suite numérique TS

    Eh bien merci beaucoup, tu m'as vraiment beaucoup aidé c'est super sympa.
    Merci beaucoup

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