Intégrale de Riemann

[invitec529fad8]

Bonjour,
j'avais deux questions concernant les intégrales de Riemann.
QUESTION 1
Montrer que f(t) = e^t est intégrable (au sens de Riemann) sur [0,1] et évaluer intégrale entre 0 et 1 de f(t) dt
SOLUTION:
Ce qu'il faut faire: verifier que la sous-estimation et la surestimation sont identiques verifient "l'integrabilite" de f(t) et la reponse a ses estimations est la reponse a l'integrale.

En faisant la sous-estimation j'arrive a (e-1). L'astuce pour resoudre est d'utiliser une serie geometrique.

Cependant pour la surestimation je n'arrive pas a comprendre comment elle fonctionne (la serie geometrique). Habituellement, la serie commence a 0 et se termine avec n-1.

Voila ce que j'ai fait:

S(f,Pn) = sommation (i=1 a n) f (i/n) ({i+1}/n - i/n)
= (1/n) (e^(1/n) + e^(2/n)+...+ 1)

comment fonctionne la serie geometrique dans ce cas?


QUESTION 2:
Par exemple: lim sommation (k=1 a n) de (1/[n+k])
n---> infini
Je ne comprends pas les etapes 2 et 3, j'aurais besoin d'explications svp.

= lim 1/n * sommation (k=1 a n) 1/ (1+k/n)
n---> infini

= integrale 0 a 1 de 1/ (1+x) dx Pourquoi est equivalent a la sommation de l'etape 2?

Gravitonlibre
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[invitec529fad8]

Quelqu'un pourrait m'aider avec ses deux questions svp.

[invitec1ddcf27]

Bonjour,

Pour la première question, j'imagine qu'on te demande de le vérifier avec la définition de l'intégrale ? Pourrais tu nous donner la définition précise que l'on t'a donné, il y a plusieurs manières de faire les choses ! Notament ce que tu appelle sur-estimation et sous-estimation ? et le lien avec intégrabilité ?

[invitec529fad8]

I (f,P) <= integrale (a- b) de f <= S (f,Q)

et I (f,P) la somme inferieure de Darboux
et S (f,P) la somme superieure de Darboux

De plus,

I (a a b) (f) = par definition sup I (f,P)
p c [a,b]

ou P est un nombre de subdivisions

de meme, S (a a b)(f) = par definition inf S(f,P)
p c [a,b]

Si I (a a b) (f) = S (a a b)(f) alors on ecrit integrale (a a b) f(x) dx pour noter la valeur commune. Dans ce cas, integrale de f entre a et b est l'integrale de f sur [a,b] et on dit que f est integrable au sens de Riemann.

Enfin, I (entre a et b) de f = lim I (f,P)
n-->infini
Pareillement pour S(f).

Ce qui me cause surtout probleme c'est comment developper pour la partie de la surestimation (avec le S).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec529fad8]

Est-ce qu'il manque quelque chose où vous avez toutes les informations pour m'aider?

[invitea6f35777]

Salut,

tu as toujours une suite géométrique il me semble

je vois pas ou est le problème

La deuxième question utilise qu'une suite est en fait égale aux somme de Darboux d'une certaine intégrale pour calculer sa limite. La somme de l'étape 2 c'est la définition de l'intégrale de riemann de 0 à 1 de 1/(1+x), tu serait pas légèrement bigleux