Fonctions de Riemann

[inviteb15dc485]

Bonjour, je fais un exercice sur l'étude des fonctions de riemann :
T(x)=(somme de n=1 à l'infini)(1/(n)^x) et
A(x)=(somme de n=1 à l'infini)(((-1)^(n+1))/(n^x))

j'ai déjà prouvé la continuité de T sur ]1;+oo[ et sa dérivabilité sur le même intervalle ainsi que la continuité de A sur ]0;+oo[ et sa dérivabilité sur [1;+oo[.

De même, je sais également que T(x)=A(x)/(1-2^(1-x)) et donc que T(x) équivaut à 1/(x-1) en 1.

Il m'est demandé de trouver l'équivalent de A(x) en 0 avec pour astuce de regrouper par 2 les termes de A(x) et de déterminer un encadrement de A(x)/T(x). J'obtiens ainsi :

A(x)= (somme de n=1 à l'inf)( (-1)^(n+1) ( 1/(2n)^x - 1/(2n+1)^x) en passant par une intégrale j'obtiens finalement
A(x) = (somme de n=1 à l'inf)((-1)^(n+1)(-x)(integrale de 2n+1 à 2n de t^(-x-1) dt)
maintenant je suis bloquée car je ne peux pas sortir l'intégrale de la somme puisque les bornes de mon intégrale dépendent de ma somme :s dois-je calculer certains termes pour voir si la série n'est pas telescopique?
Merci de m'avoir lue
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[breukin]

Formellement, l'idée consiste à écrire :

(2n–1)^–x–(2n)^–x
= (2n)^–x {(1–1/2n)^–x–1}
= (2n)^–x {exp(–xLog(1–1/2n))–1}

~ (2n)^–x x/2n

= x/(2n)^x+1

Donc A(x) ~ xT(x+1)/2^x+1

Et A(0)=1/2