Fonctions Riemann-intégrables, limite simple

[invitedef78796]

Bonjour à tous,

Voilà je me posais une petite question dernièrement à propos des fonctions Riemann-intégrables sur un segment [a,b].

Il est connu qu'une des "faiblesses" de l'intégrale de Riemann (bon elle est pas mal quand même, on est tous d'accord )est la difficulté de caractériser les fonctions Riemann-intégrables de manière topologique alors que par exemple toute application mesurable à valeurs réelles est limite simple d'une suite de fonctions étagées, la convergence pouvant être rendue uniforme si la fonction mesurable en question est bornée.

Certaines applications Riemann-intégrables ont plus de chance comme les fonctions réglées. Mais dans le cas le plus général d'une fonction Riemann intégrable quelconque on ne voit pas trop comment avec la définition elle pourrait s'écrire comme limite (ne serait-ce que simple) de fonctions en escalier.

Ma question est donc eut-on dans le cas général écrire une fonction Riemann-intégrable comme limite simple [B]presque-partout[\B] d'une suite de fonctions en escalier ?

Et sinon, connaissez-vous des caractérisations des fonctions Riemann-intégrables autres que la définition ?

Merci d'avance,
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[matthias]

Il me semble qu'une fonction bornée sur [a;b] est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité est négligeable pour la mesure de Lebesgue.

[martini_bird]

Salut,

je ne comprends pas bien ta question, IceDL.

peut-on dans le cas général écrire une fonction Riemann-intégrable comme limite simple [b]presque-partout[\B] d'une suite de fonctions en escalier ?

Il me semble qu'une fonction Riemann-intégrable est mesurable donc limite simple d'une suite de fonctions étagées...

C'est l'inverse qui est faux : cf. la fonction caractéristique de Q.

Cordialement.

[invitedef78796]

Il me semble qu'une fonction bornée sur [a;b] est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité est négligeable pour la mesure de Lebesgue.

Oui c'est tout à fait exact. Je crois que ce résultat porte le nom de théorème de Denjoy.

Sinon, penses tu que l'on puisse dire : si f est Riemann-intégrable sur [a,b] alors il existe une suite de fonctions en escalier sur [a,b] telle que



Moi personellement je penses que c'est faux mais je n'ai pas de contre-exemple...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedef78796]

Il me semble qu'une fonction Riemann-intégrable est mesurable donc limite simple d'une suite de fonctions étagées...

Oui d'accord pour "étagée" mais je me posais la question avec "en escalier" ce qui n'est pas tout à fait la même chose.

@+

[martini_bird]

Qu'entends-tu par fonction en escalier ? Une fonction du type avec des intervalles ?

[martini_bird]

Il me semble qu'une fonction bornée sur [a;b] est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité est négligeable pour la mesure de Lebesgue.

Il ne manque pas quelque chose ? Comme le caractère discret des points de discontinuité ? Car sinon serait Riemann-intégrable, admettant pour points de discontinuités les rationnels qui sont de mesure nulle...

Pour moi, une fonction Riemann-intégrable s'écrirait comme une somme avec les continues et les des intervalles disjoints. Dès lors, une fonction continue étant limite d'une suite de fonctions en escalier (ça a l'air d'être vrai non?), il en serait de même d'une fonction Riemann-intégrable.

Cordialement.

[matthias]

Qu'entends-tu par fonction en escalier ? Une fonction du type avec des intervalles ?

Oui, si ta somme est finie bien sûr. Sur [a;b] ça revient à prendre une subdivision a0, a1, ..., an de [a;b] (a0 = a, an = b), la fonction étant constante sur ]ai;ai+1[.

[invitedef78796]

Oui c'est ça. C'est vrai que je n'ai été très précis.

Soit une application de dans .

On dit que est une application en escalier sur s'il existe une subdivision de telle que soit constante sur chacun des intervalles .

On dit alors que la subdivision est adaptée à .

Partant, on définit l'intégrale de la fonction en escalier par (dont on établit les propriétés).

Puis on dit qu'une application f est Riemann-intégrable sur [a,b] si

[matthias]

Il ne manque pas quelque chose ? Comme le caractère discret des points de discontinuité ? Car sinon serait Riemann-intégrable, admettant pour points de discontinuités les rationnels qui sont de mesure nulle....

Euh ...
Cette fonction n'est continue nulle part, pas plus sur les irrationnels que les rationnels.

[matthias]

Je propose la fonction où K est l'ensemble de Cantor.

[martini_bird]

Euh ...
Cette fonction n'est continue nulle part, pas plus sur les irrationnels que les rationnels.

Y a des fois je devrais vraiment m'abstenir... Désolé.

[martini_bird]

Je propose la fonction où K est l'ensemble de Cantor.

Euh, tu la proposes comme exemple de quoi ? Comme exemple de fonction continue admettant un nombre dénombrable de discontinuité ? Ou comme fonction Riemann-intégrable qui n'est pas la somme de fonctions étagées ?

Je suis perdu là...

[invitedef78796]

Je propose la fonction où K est l'ensemble de Cantor.

Commençons par prouver qu'elle est Riemann-intégrable. Si on utilise le critère que tu as énoncé au début, elle est bornée et n'est discontinue que sur l'ensemble de Cantor (en effet ce qui reste c'est une réunion d'intervalles ouverts sur laquelle elle est nulle, elle y est continue).
Elle semble donc Riemann intégrable.

On pose,

puis pour ,



ce qui définit une suite d'applications en escalier dont est la limite simple (tout court) par construction de l'ensemble de Cantor...

[matthias]

De toute façon c'était un exemple idiot, puisque la fonction est égale à 0 presque partout. Comme limite simple presque partout de fonctions en escalier on fait difficilement mieux.

[invitedef78796]

De toute façon c'était un exemple idiot, puisque la fonction est égale à 0 presque partout. Comme limite simple presque partout de fonctions en escalier on fait difficilement mieux.

C'est vrai mais c'est même encore pire puisqu'elle est carrément limite simple tout court .

Par contre je retiens cet exemple parce que c'est une fonction Riemann-intégrable non réglée.

[matthias]

Je me demande s'il ne faudrait pas avoir un ensemble non mesurable.
Pour la limite simple presque partout je pense que c'est toujours vrai.