Feuillets de Riemann

[invite4b31cbd7]

Bonjour,

J'ai une fonction f(z) qui, selon moi, a trois points de branchement (est-ce possible, j'avais cru comprendre que les points de branchement venaient en pair ?) et je dois construire une façon de relier les quatres feuillets pour que cela crée une surface de Riemann.

Ma fonction est : f(z) = sqrt(z-a) + sqrt(z+a)

Je sais pas trop comment m'y prendre pour relier les feuillets, quelqu'un peu me donner un coup de main ?

(les trois points de branchements que j'ai trouvé sont a, -a et l'infini)
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[invite4793db90]

Salut,

je ne comprends pas trop la question, mais pour faire avancer le schmilblick, si tu inverses la fonction, tu trouveras
(*)
dont les solutions coïncident avec ce que tu écris . Mais que représente pour toi la racine d'un nombre complexe ?

Sinon, j'interprète la surface de Riemann dont tu parles comme l'ensemble des vérifiant l'équation (*) : qu'entends-tu par relier les feuilets ? Trouver un chemin qui relie deux solutions différentes de l'équation ?

Cordialement.

[invite4b31cbd7]

Je suis pas sur de comprendre ce que vous avez fait.

Pour moi la racine d'un nombre complexe c'est une fonction multiforme, que je dois rammener en plusieurs feuillets uniformes.

Par relier les feuillets j'entend que, ma fonction f(z) possède quatre feuillet :

F1 = sqrt(z-a) + sqrt(z+a)
F2 = sqrt(z-a) - sqrt(z+a)
F3 = -sqrt(z-a) + sqrt(z+a)
F4 = -sqrt(z-a) - sqrt(z+a)

Et mon but c'est un former un plan complexe, avec une coupure, qui relit ces quatres feuillet différents pour en faire une seule surface de Riemann.

Je sais que c'est probablement pas très clair, mais c'est déjà pas très clair dans ma tête ...

[invite4793db90]

Salut,

ben j'ai inversé l'équation en élevant deux fois au carré. Tu pourras vérifier que tes fonctions F_i sont les "feuillets" (moi je dirais plutôt sections) de (*).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b31cbd7]

Bon d'accord, mais avec la transformation que vous faite je sais pas comment relier mes ''sections''.

[invite4793db90]

Encore une fois, je ne sais pas ce que tu cherches à faire...

Pour poser la chose, en voyant ta fonction au message #1, je me dis que c'est une section du revêtement qui admet en effet trois ramifications si on compactifie en ajoutant un point (sphère de Riemann). Il y a 4 feuillets (car quatre sections qui sont les fonctions F_i que tu as données).

Mais qu'entends-tu par "relier" les sections (ou les feuillets) ?

Cordialement.

PS : quel est ton niveau d'étude ? Connais-tu les revêtements ?

[invite4b31cbd7]

En fait, je cherche à construire un plan complexe tel que en passant par des (une) coupure que j'aurai moi-même posé, je peut passer d'un feuillet à l'autre. Donc en définitive au lieu d'avoir ma fonction f(z) multiforme j'ai un plan complexe coupé qui comporte 4 feuillets correspondant à 4 fonctions uniformes.

Je ne pense pas savoir ce que sont les revêtements.

[invite4b31cbd7]

Il y aurait pas une façon de faire ce genre de truc avec ma fonction ?

http://serge.mehl.free.fr/anx/surface_R.html

[invite4793db90]

Salut,

Il y aurait pas une façon de faire ce genre de truc avec ma fonction ?

Si c'est possible, et l'équation de la surface est celle que je t'ai donnée (formule * du message #2). Bon c'est un peu plus compliquée que pour la racine carrée (l'image que tu donnes correspond au revêtement ) : j'attache en PJ la surface obtenue, bien que ce soit pas très joli.

Cordialement.



PS : problème d'upload, j'ai mis l'image sur mon site en attendant.

[invite4b31cbd7]

Merci,

Mais je comprend pas trop comment vous avez fait pour tracer cette surface. La formule (*) est une équation à deux variables ? Comment écrivévz vous f(z) (qui correspond au symbole dont j'ai oublié le nom) dans votre logiciel graphique ?

[invite4793db90]

Salut,

la surface est l'ensemble des points qui vérifie la relation (*). En écrivant et , celà revient à l'ensemble des points qui vérifie (*) d'où deux équations (et donc 4 paramètres - 2 équations = une variété de dimension 2).

J'ai tracé la surface à l'aide d'un programme en python fait maison (je peux te donner le code source, mais il n'est pas documenté, et pas hyper performant - il faudrait que je m'y remette quand j'aurai deux minutes).

Désolé mais à vrai dire, je n'ai toujours pas compris ce que tu cherchais à faire. Mon petit doigt me dit cependant que tu devrais regarder du côté des revêtements (il y a un pdf de topologie algébrique dans la bibliothèque ).

Cordialement.

[invite4b31cbd7]

En fait la question exact provenant d'un livre est :

Trouver un façon cohérente de recoller les feuillets entre eux.

[invite4793db90]

Salut,

et ben !!! On peut pas dire que ce soit explicite ! Et la UHU, ils ont essayé ?

[leg]

Salut,

et ben !!! On peut pas dire que ce soit explicite ! Et la UHU, ils ont essayé ?

oui, mais la formule n'est pas bonne donc ça se décolle

[invite4793db90]

Salut,

sinon plus sérieusement, comme déjà indiqué, la surface d'équation (*) constitue un revêtement à quatre feuillets du plan privé des deux points a et -a : c'était peut-être la réponse attendue ?

Cordialement.