Bonjour,
J'ai un exercice à faire et je n'y arrive pas
J'aimerai avoir un petit coup de pouce pour pouvoir le faire
voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur [0,1] par f(x)=1 si x e Q
0 si x e pas Q
1)Montrer que pour tout intervale I ouvert non vide de [0,1], inf f(x)=0 x e I) et sup f(x)=1 (xe I)
2)En déduire que f n'est pas Riemann intégrable sur [0,1]
Merci d'avance pour votre aide
Bon, tout d'abord, il est facile de voir que 1) => 2). Calcule l'intégrale en coupant l'intervalle [0,1] en n sous-intervalles de taille égale, puis en approximant f par valeur supérieure et par valeur inférieure. Ensuite, tu pourras montrer qu'intégrer par valeur supérieure ou inférieure ne te donnera pas le même résultat. Donc la fonction n'est pas Riemann-intégrable.Envoyé par Popo037
Pour prouver 1), tu devras te ramener au fait que Q est dense dans R. Il y a eu un fil sur ce sujet, récemment.
Peux-tu me donner le lien de ce sujet, je ne l'ai pas trouve
j'ai juste trouve R/Q dense dans Q
Je suis encore bloquée est-ce que l'on peut m'aider ?
Merci d'avance
Tout intervalle ouvert et non vide contient un rationnel, en lequel f vaut 1, et contient également un irrationnel, en lequel f vaut 0.
Il n'est donc pas difficile de trouver les bornes de f sur un tel intervalle...
