[ Maths ] Quelques séries

[inviteb64a2f8e]

Bonsoir à tous !

Voilà je suis en train d'étudier la nature de quelques séries mais 3 d'entre elles me posent problème. Les voici :

¤ un = 1/n * ln [ (rac(n+1)/rac(n) ]

¤ un = 1 / (1+rac(n))ⁿ

¤ un = (n+1)^1/n - n^1/n

Pour la première, je trouve que un ~ 1 / rac(n). Or 1 / rac(n) diverge car 1/2 < 1 (suites de Riemann). C'est bon ?

Pour la seconde, j'ai montré que (1+rac(n))ⁿ tendait vers + l'infini et donc que un tendait vers 0, mais je ne crois pas que ce soit suffisant pour conclure qu'un converge ?

Pour la troisième, j'arrive à un équivalent bizarre pour un, qui ne me permet pas de conclure : je trouve un ~ [ rac énième(n) / 2n² ]

Voilà, merci beaucoup à tous !

ZimbAbwé
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[invite57a1e779]

Pour la première : , et tu calcules un équivalent de .

Pour la deuxième, tu utilises la règle de Cauchy.

Pour la troisième, tu as qui tend vers 1, donc tu peux simplifier on équivalent.

[inviteb64a2f8e]

Pour la première : , et tu calcules un équivalent de .

Ca c'est bon je trouve un ~ 1 / 2n² donc un converge

Pour la deuxième, tu utilises la règle de Cauchy.

Euh, je connais le critère de Cauchy (avec la définition de la limite et epsilon) mais pas la règle de Cauchy il me semble :S

Pour la troisième, tu as qui tend vers 1, donc tu peux simplifier on équivalent.

J'ai donc le droit de dire que un ~ 1 /2n² ?

Merci !

[invite57a1e779]

Euh, je connais le critère de Cauchy (avec la définition de la limite et epsilon) mais pas la règle de Cauchy il me semble :S

Pour la deuxième série, essaie la règle de d'Alembert.

J'ai donc le droit de dire que un ~ 1 /2n² ?

Pour la troisième, c'est ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb64a2f8e]

Pour la deuxième série, essaie la règle de d'Alembert.

J'ai regardé sur Wikipédia le critère d'Alembert, et c'est vrai que ça serait bien pratique, mais on le n'a pas vu en cours :S

Je pense que je vais me contenter de dire que le numérateur tend vers + l'infini donc un tend vers 0 et donc la série converge (c'est vrai que ça semble douteux comme raisonnement)

[invite57a1e779]

Je pense que je vais me contenter de dire que le numérateur tend vers + l'infini donc un tend vers 0 et donc la série converge (c'est vrai que ça semble douteux comme raisonnement)

C'est n'est pas douteux, c'est faux : si , on a bien qui tend vers 0, mais la série diverge.

Essaie de calculer ...

[inviteb64a2f8e]

Et puis en fait ce raisonnement est vraiment faux car il faut que un tende "rapidement" vers 0. Par exemple, 1/n tend vers 0 mais n'est pas convergente.

Donc je vais suivre ce raisonnement tout compte fait ^^

[inviteb64a2f8e]

Je suis censé reconnaitre quelque chose multipliant par n² ?

Et j'ai une autre petite question sur la convergence des séries, à propos de 1/n :
Comment peut-on affirmer que 1/n converge sans utiliser le critère de Riemann ? Il faudrait majorer par une suite covergente ?

Merci !

[invitec317278e]

Je n'ai pas encore vu les séries, mais il me semble que pour la deuxième, on peut écrire que :


Ca sert à quelque chose ?

[invite57a1e779]

Ca sert à quelque chose ?

Oui, ça peut être fort utile !!!

[inviteb64a2f8e]

Je n'ai pas encore vu les séries, mais il me semble que pour la deuxième, on peut écrire que :


Ca sert à quelque chose ?

Euh...oui ! ^^

Grâce à ton encadrement Thorin, on majore la série à étudier par une série convergente (car 1/2 < 1) donc la série est convergente car les deux séries sont à termes positifs à partir d'un certain rang.

Mais comment as tu trouvé cette majoration ?

[invitec7f96499]

ouais par comparaison la série converge car la série géométrique de terme général x^k converge pour -1<x<1

[invitec317278e]

Mais comment as tu trouvé cette majoration ?

Simplement en cherchant à majorer par un des types de suite les plus simples qui soit, ie, une suite géométrique.
Et on pourrait remplacer le "2" du dénominateur par n'importe quel entier, il y a forcément un rang au bout du quel l'inégalité sera respectée...

[inviteb64a2f8e]

Ah ouè d'accord je vois, c'est super pratique mais il faut y penser ^^

Et sinon, personne n'a d'idée alors pour montrer que 1/n converge sans utiliser le critère de Riemann ? (majorer par une suite convergente comme on vient de le faire peut-être... ?)

[invitec317278e]

Si ce que tu veux prouver est que 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ... converge, alors, c'est faux.
Plus précisément, il me semble avoir démontré dans un DS de sup' que cette somme était équivalente à ln(n) en l'infini.

[inviteb64a2f8e]

Ah pardon j'ai fait une erreur de frappe :S

Je voulais dire : comment démontrer que 1/n² converge sans utiliser le critère de Riemann

Désolé :S

[invite57a1e779]

Pour , on a , ce qui permet de majorer la suite croissante .

[invitec317278e]

Je crois me rappeler d'un exo de terminale S qu'on avait fait quand j'y étais, qui démontrais un truc de ce genre en utilisant les suites :




on a alors qui est décroissante, l'autre suite est évidemment croissante, et la différence tend vers 0...donc les suites convergent.

[inviteb64a2f8e]

Pour , on a , ce qui permet de majorer la suite croissante .

J'ai le droit de dire que et donc comme et convergent, converge car majorée par une somme de séries convergentes ?

[invitec317278e]

(je n'ai pas précisé, mais au cas où ça n'aurait pas tilté chez toi, dans mon précédent message, il faut établir que les suites sont adjacentes).

Bon, sinon, je viens de penser à une autre méthode.

Si je ne me suis pas trompé dans mes calculs, on peut prouver par récurrence que :



0 partir de là, la suite est majorée par une suite qui converge...

[invitec317278e]

J'ai le droit de dire que et donc comme et convergent, converge car majorée par une somme de séries convergentes ?

Nan, avec ce qu'a dit God's Breath, il faut conclure en disant que est en fait quelque chose de très simple.

Edit : d'ailleurs j'avais pas vu que God's Breath m'a encore grillé avec une belle avance...

[invite57a1e779]

J'ai le droit de dire que et donc comme et convergent, converge car majorée par une somme de séries convergentes ?

M'enfin !! Les séries et divergent...

Pour , on a : .

[inviteb64a2f8e]

(je n'ai pas précisé, mais au cas où ça n'aurait pas tilté chez toi, dans mon précédent message, il faut établir que les suites sont adjacentes).

Sympa mais si t'inquiètes pas j'avais "tilté", c'est juste que ça paraissait assez long (croissance, décroissance, limite), ou en tout cas plus long que la méthode de God's Breath

Mais c'est sympa quand même d'essayer de m'aider.

[invite57a1e779]

Sympa mais si t'inquiètes pas j'avais "tilté", c'est juste que ça paraissait assez long (croissance, décroissance, limite), ou en tout cas plus long que la méthode de God's Breath

Mais c'est sympa quand même d'essayer de m'aider.

C'est la même méthode : avec , tu as , donc la suite est décroissante. Montrer que l'autre suite est croissante, et que la différence est de limite nulle est un enfantillage.

[invitec317278e]

Mais c'est sympa quand même d'essayer de m'aider.

Par contre, tu sembles avoir un problème avec le fait que c'est pas parce que 1/n tend vers 0 que la somme des 1:n tend vers 0.

Si tu veux, la somme des 1/n, c'est un peu l'illustration parfaite de la célèbre maxime : "Il n'y a pas de petits gestes quand on est 60 millios à les faire"

[inviteb64a2f8e]

Si tu veux, la somme des 1/n, c'est un peu l'illustration parfaite de la célèbre maxime : "Il n'y a pas de petits gestes quand on est 60 millios à les faire"

C'est vrai c'est joliment dit, mais c'est aussi que je m'embrouille entre 1/n et 1/n² : je pense 1/n et j'écris, comme une fleur, 1/n² et réciproquement...

Sinon c'est vrai que l'utilisation de deux suites adjacentes est bien mais elle me paraît un peu "compliquée", ou tout du moins longue, parce que "justifier que la série 1/n converge" n'était qu'une moitié de question, qui permettait ensuite de répondre à la suite de la question, à savoir "et ensuite calculer la somme infinie des 1/n²