Hello, J'ai besoin d'aide pour résoudre ces deux problèmes.J'ai plusieurs pistes mais je reste bloqué:
1.Quel est le volume de la calotte sphérique délimitée dans une boule de rayon r par un plan situé à une distance d du centre de la boule?
2.Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de l'axe oy de la surface bornée que délimitent les courbes d'équation y=(x)2 et y=x dans le plan oxy?
MERCI.
Bonsoir
tout d'abord bien venu tres cher Bobby
Pour ton premier problème on consedere une calotte sphèrique (enlevée d'une sphère de rayon R) d'axe Oz. Pour facilite les calculs decoupons la calotte en rondelles d'epaisseurs dz et donc chaque rondelle est reperée par z.
le volume d'une rondelle est dv = Pi.[r(z)]^2.dz , r(z) etant le rayon de la rondelle reperée par z et donc on peut ecrire : z^2 + [r(z)]^2 = R^2
Aussi le volume V de la calotte est la somme des volumes de toute les rondelles ( z varie donc de d à R):
soit V= integrale[dv]= integ[Pi.[r(z)]^2].dz = integ [Pi.[R^2 - z^2].dz
finalement V = Pi.[ 2/3.R^3 +1/3.d^3 -d.R^2]
verification : - d = 0 , V = 2/3.Pi.R^3 (volume de la moitier d'une sphère)
- d = - R , V = 4/3.Pi.R^3(volume d'une sphère)
- d= R , V = 0
Pour le deuxieme probleme j'y pense
bonne soirée
bonjour Bobby
J'ai une petite question pour le deuxieme pb les limites d'integration?
parceque de 0 à 1 c'est une chose et de 1 à a? c'est autre chose car :
0<x<1 alors x > x^2
1<x<a alors x < x^2 et il faut donner la valeur de a si non on fait le calcul avec a et on prend la limite du resultat qd a tend vers l'infini.
qd au premier pb essaie de calculer la surface de la partie sphèrique de la calotte
Bonjour.
Regarde là :
http://pagesperso-orange.fr/daniel.r...l#FORMULE%2036
bonsoir
Je pense qu'il demande comment trouve ces formules ( des volumes et surfaces) et non pas leurs expressions
Pour ton deuxième problème, regarde le théorème de Guldin
rebonjour ::
Pour le deuxieme pb on peut effectivement utilise Guldin , mais voyant un petit peu ce que se passe qd une courbe tourne autour de Oy elle engendree un volume( disant que x varier de a à b et y = f(x)) ce volume est un tube defini par:
Deux sufaces laterales de rayons r=a et r=b de hauteurs respectives f(a) et f(b).
Une surface de base y=0 (une courrone r=a et r=b).
et enfin une surface courbèe .
Donc pour caculer ce volume prenons un volume elementaire defini de la façon suivante: un tube d'epaisseur dx de rayons (interieur x et exterieur x+dx) et pour hauteur f(x),ce volume a pour expression : dV = 2.Pi.x.dx.f(x)
finalement V = inegrale (dV) = integrale( 2.Pi.x.f(x)dx) avec a<x<b
pour ton cas :
V = integrale( 2.Pi.x.(f1(x) -f2(x)) dx) 0<x<1
V = integrale( 2.Pi.x.(f2(x) -f1(x)) dx) 1<x<a
avec : f1(x) = x et f(x) = x^2
voila le reste est simple a effectuer
Merci beaucoup pour votre aide!
Très astucieuse ta méthode nabil, elle nous permet d'éviter de passer par le théorème de Guldin si on ne le connaît pas. J'ai mis du temps à bien comprendre ta délimitation du dV, mais je n'ai pas réussi. J'ai essayé de le faire à côté en m'inspirant de ta méthode et je suis tombé sur le même résultat que toi. Sans vouloir t'offenser, je poste ici une nouvelle explication de la délimitation des bornes pour ceux qui comme moi, aurait du mal à comprendre la tienne.
Juste un détail :
Envoyé par nabil1235789
La surface bornée déterminée par les courbes d'équation x et x² implique que x varie de 0 à 1 => pas d'ambiguïté sur un possible (x>1).V = integrale( 2.Pi.x.(f2(x) -f1(x)) dx) 1<x<a
Il y aura donc une surface latérale externe de rayon r=1 (la surface latérale interne aura un rayon nul puisque x=0)
On se situe entre y=x² et y=x et non pas entre y=0 et y=x². On aura une surface plane (délimité par y=x et non y=0) et une surface courbée.Une surface de base y=0 (une courrone r=a et r=b).
et enfin une surface courbèe .
Ce que j'exprimerai ainsi :Donc pour caculer ce volume prenons un volume elementaire defini de la façon suivante: un tube d'epaisseur dx de rayons (interieur x et exterieur x+dx) et pour hauteur f(x),ce volume a pour expression : dV = 2.Pi.x.dx.f(x)
un tube d'épaisseur dx et de hauteur (x-x²) (entre les deux courbes). Ce qui donne dS=(x-x²)dx.
Si on fait "tourner" ce dS autour de l'axe y, on obtient un volume élémentaire :(dS multipliée par la circonférence du cercle parcouru par dS).
Et il ne nous restera plus qu'à intégrer :
En tous cas, merci encore pour cette jolie façon de faire.
Bonjour:
Ce que j'ai detailler en haut c'est ble volume au-dessous d'une courbe(situe entre la courbe et le plan y=0) donc c'est general quand au volume compris entre les deux courbes on doit faire la difference des volumes engendres par les deux courbes.
Ok je comprends mieux maintenant... Merci
bonsoir:
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