Aide pour problème de maths avec des logarithmes

[invitea88ea651]

Bonjour,
Je suis actuellement en terminale ES et j'ai un problème avec mon DM de Maths, je suis coincée !

Enoncé :
Une entreprise fabrique un solvant pour peinture. On désigne par x le nombre de m^3 de solvant produits chaque jour ; x appartient [1;6]. Le coût total de la production de ces x mètres cubes, en milliers de francs (kF) est :
Ct(x) = x²/4+2.8+2ln(x)
On cherche à déterminer le prix de vente pour que l'entreprise fasse des bénéfices.

Partie A :
1) Calculer Ct'(x) et étuduier les variations de Ct sur [1;6]
--> j'ai trouvé Ct'(x) = x/2 + 2/x
Pour les variations j'ai trouvé que Ct était croissante sur l'intervalle.

2)Il fallait tracer la courbe, ça, ça va.

Partie B :
Pour une production journalière de x mètres cubes, le coût moyen de production en milliers de francs de 1 mètre cube est :
Cm(x) = Ct(x)/x

1) Ecrire Cm(x) en fonction de x :
---> J'ai mis x/4+2.8/x+2ln(x)/x

2) Démontrer que pour tout réel x [1;6], C'm(x) a le même signe que f(x) = x²-3.2-8ln(x)
---> J'ai trouvé pour la dérivée Cm'(x) = 1/4+208/x²+(2-2ln(x)/x²
Or avec ma calculette, je constate que Cm'(x) est décroissante sur l'intervalle et que f(x) est décroissante puis croissante. Comment est-ce que ça pourrait être du même signe ?

Merci beaucoup si vous pouvez m'aider parce que là, je ne sais pas du tout quoi faire.
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

...
2) Démontrer que pour tout réel x [1;6], C'm(x) a le même signe que f(x) = x²-3.2-8ln(x)
---> J'ai trouvé pour la dérivée Cm'(x) = 1/4+208/x²+(2-2ln(x)/x²
Or avec ma calculette, je constate que Cm'(x) est décroissante sur l'intervalle et que f(x) est décroissante puis croissante. Comment est-ce que ça pourrait être du même signe ?

De ce que tu indiques, il semblerait que tu fasses une confusion entre variation et signe d'une fonction.

Ce que tu dois faire c'est exprimer ta dérivée Cm'(x) en faisant apparaître la fonction f(x). Le reste de l'expression doit avoir un signe positif.
Ensuite, il te faut déterminer le signe de f(x) (tableau de signe classique) et voilà.

Duke.

EDIT : J'adore les problème d'il y a 10 ans. Il faudra signaler à mes collègues que nous sommes passés à l'€

[invitea88ea651]

Est-ce que je dois caculer Cm'(x) = f(x) ?

[Duke Alchemist]

Non !

De ton expression de Cm'(x), tu réécris en mettant l'ensemble au même dénominateur (par exemple ) et apparaîtra spontanément l'expression correspondante à f(x) au numérateur certainement.
en gros, ce sera Cm'(x)=f(x)*g(x) où g(x) est une fonction dont le signe n'influe pas sur le signe de Cm'(x) (donc g(x) positive dans ton cas).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea88ea651]

Ah merci ! J'ai trouvé en effet (x²-3.2-8ln(x))/4x² !
Un carré est toujours positif, donc je dois calculer le signe de x²-3.2-8ln(x), mais je ne sais pas comment résoudre l'équation avec un logarithme...
Merci de m'aider

[Duke Alchemist]

Ah merci ! J'ai trouvé en effet (x²-3.2-8ln(x))/4x² !
Un carré est toujours positif, donc je dois calculer le signe de x²-3.2-8ln(x), mais je ne sais pas comment résoudre l'équation avec un logarithme...
Merci de m'aider

Ben là comme ça, je vais t'avouer que moi non plus je ne vois pas trop comment faire...
On ne te donne pas d'indication sur le signe de f(x) dans des questions précédentes ?
Peut-être as-tu le droit de le faire directement avec la calculatrice ?

Duke.

Je vais devoir te laisser réfléchir, je dois me sauver. Bon courage

[invitea88ea651]

Oki merci quand même, non il n'y a pas d'autres indications ! Je vais le faire à la calculatrice alors, du moins essayer... !
C'était gentil à vous !