Parties bornées, précompactes, compactes, fermées, complètes

[invite97a526b6]

Bonjour et bonne année à tous.
Voici ma question:
Le diagramme de Vien ci-joint, qui représente les relations d'appartenances entre partie d'un espace topologique, est-il bien exact ?

- L'intérieur du rectangle externe en trait noir représente les parties d'un espace topologique E.
- L'intérieur du cercle en trait noir à gauche représente les parties bornées de E.
- L'intérieur du cercle en trait noir à droite représente les parties ferrnées de E.
- L'intérieur du cercle en trait bleu à gauche représente les parties compactes de E.
- L'intérieur du cercle en trait bleu à droite représente les parties complètes de E.
- Si E est bolzanien, les cercles bleus et noirs sont confondus.
- Enfin, la partie hachurée en rouge représente les parties compactes de E.

Merci pour vos réponses.
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[invite97a526b6]

Bonjour et bonne année à tous.
Voici ma question:
Le diagramme de Vien ci-joint, qui représente les relations d'appartenances entre partie d'un espace topologique E, est-il bien exact ?

- L'intérieur du rectangle externe en trait noir représente les parties d'un espace topologique E.
- L'intérieur du cercle en trait noir à gauche représente les parties bornées de E.
- L'intérieur du cercle en trait noir à droite représente les parties ferrnées de E.
- L'intérieur du cercle en trait bleu à gauche représente les parties précompactes de E.
- L'intérieur du cercle en trait bleu à droite représente les parties complètes de E.
- Si E est bolzanien, les cercles bleus et noirs sont confondus.
- Enfin, la partie hachurée en rouge représente les parties compactes de E.

Merci pour vos réponses.

Je n'ai pas de réponse... Serait-ce une question non pertinente ?

[invite986312212]

bonjour,

espace bolzanien: c'est une appellation non contrôlée ça. que veux-tu dire?

[invite97a526b6]

bonjour,

espace bolzanien: c'est une appellation non contrôlée ça. que veux-tu dire?

D'après mon cours de topologie: voici la définition:
E est espace bolzanien <=> parties compactes = parties bornée-fermées.
Dans le cas général on a: parties compactes incluses dans parties bornées-fermées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

De mon temps, on parlait d'espaces de Montel.

Certaines propriétés demandent à ce que l'espace soit muni d'une structure uniforme, voire soit métrique.

[invite97a526b6]

De mon temps, on parlait d'espaces de Montel.

Certaines propriétés demandent à ce que l'espace soit muni d'une structure uniforme, voire soit métrique.

Oui, je pense que tu as raison: 'il faut se placer dans le cas E espace métrique avec la topologie induite par la métrique.

[invite97a526b6]

Je n'ai pas beaucoup de réponses à ma question. Peut-être est-ce une question non pertinente, voire stupide ? Si c'est le cas, j'aimerais que l'on m'explique pourquoi...

La question est: le diagramme est-il exact ?

Merci à ceux qui voudront bien se pencher sur cette question.

[invite97a526b6]

Je n'ai pas beaucoup de réponses à ma question. Peut-être est-ce une question non pertinente, voire stupide ? Si c'est le cas, j'aimerais que l'on m'explique pourquoi...

La question est: le diagramme est-il exact ?

Merci à ceux qui voudront bien se pencher sur cette question.

J'aimerais avoir une réponse, aussi je réactualise...

[invite4ef352d8]

Salut !

Espace 'Bolzanien' je n'ai jamais entendu mais pourquoi pas.

en tous cas c'est différent de la notion d'espace de Montel.
Même si les deux s'énonce comme "espace dans lequel les compact sont les fermé bornés" il y a une différence majeur :
dans le cas des espaces de montel, on est dans le cadre des Espace vectorielle topologique et dire que C est borné signifie "pour tous voisinage V de 0 il existe un réel r telle C est inclu dans rV".
dans le cas des espaces 'Bolzanien' j'imagine que borné signifie de diamètre fini.


les implications que tu donne sont "en général" vrai, mais la question est un peu non pertinente car tu ne précise pas bien le cadre dans lequel tu travaille : espaces topologique ? espace topologique séparé ? espaces uniforme ? espaces métrique ? espace vectorielle topologique ? etc... toutes ces notion n'ont pas toujours de sens partout voir pire, non pas toujours le même sens partout...

deplus certaine notion sont relative : par exemple "fermé" n'est pas une propriété d'un espace, mais une propriété d'un sous espace, qui est relative à l'espace qui le contiens.
"complet" depend de la structure uniforme (ou structure métrique si tu ne sais pas ce qu'est une structure uniforme) : deux espace peuvent être homéomorphe avec l'un complet et l'autre non.
"borné" est une propriété completement métrique dans le sens ou toute distance est topologiquement équivalente à une distance rendant toute partie borné : la distance d'=max(d,1). bref c'est une notion assez inintéressante... sauf quand on est sur un espace vectorielle ou qqch du genre ou elle correspont à une vrai propriété intrinsèque. (cf ce que j'ai dit sur les espaces de montel)


et si on cherche des cadre un peu baroque, on peut trouver des contre exemples... notement compact => fermé est faux sur les espaces non séparé.
complet => fermé est vrai mais il faut l'énoncer avec beaucoup de précaution
: par exemple R est complet pour la distance usuelle, mais pourtant quand on le plonge dans "R barre" (R union l'infini et - l'infini) il n'est pas fermé....

[invite97a526b6]

Salut !

Espace 'Bolzanien' je n'ai jamais entendu mais pourquoi pas.

en tous cas c'est différent de la notion d'espace de Montel.
Même si les deux s'énonce comme "espace dans lequel les compact sont les fermé bornés" il y a une différence majeur :
dans le cas des espaces de montel, on est dans le cadre des Espace vectorielle topologique et dire que C est borné signifie "pour tous voisinage V de 0 il existe un réel r telle C est inclu dans rV".
dans le cas des espaces 'Bolzanien' j'imagine que borné signifie de diamètre fini.


les implications que tu donne sont "en général" vrai, mais la question est un peu non pertinente car tu ne précise pas bien le cadre dans lequel tu travaille : espaces topologique ? espace topologique séparé ? espaces uniforme ? espaces métrique ? espace vectorielle topologique ? etc... toutes ces notion n'ont pas toujours de sens partout voir pire, non pas toujours le même sens partout...

deplus certaine notion sont relative : par exemple "fermé" n'est pas une propriété d'un espace, mais une propriété d'un sous espace, qui est relative à l'espace qui le contiens.
"complet" depend de la structure uniforme (ou structure métrique si tu ne sais pas ce qu'est une structure uniforme) : deux espace peuvent être homéomorphe avec l'un complet et l'autre non.
"borné" est une propriété completement métrique dans le sens ou toute distance est topologiquement équivalente à une distance rendant toute partie borné : la distance d'=max(d,1). bref c'est une notion assez inintéressante... sauf quand on est sur un espace vectorielle ou qqch du genre ou elle correspont à une vrai propriété intrinsèque. (cf ce que j'ai dit sur les espaces de montel)


et si on cherche des cadre un peu baroque, on peut trouver des contre exemples... notement compact => fermé est faux sur les espaces non séparé.
complet => fermé est vrai mais il faut l'énoncer avec beaucoup de précaution
: par exemple R est complet pour la distance usuelle, mais pourtant quand on le plonge dans "R barre" (R union l'infini et - l'infini) il n'est pas fermé....

Merci pour ta réponse détaillée.

- Je précise le cadre de travail: il s'agit des relations entre des parties d'un espace métrique E

- Il s'agit des relations entre les parties suivantes de E:

- les parties bornées de E
- les parties ferrnées de E
- les parties précompactes de E
- les parties complètes de E
- les parties compactes de E

Si on se limite à ce cadre (E espace métrique), je pense que le diagramme est juste...

[invite4ef352d8]

Oui ca ma aussi l'air correcte... mais mefie toi quand même des "contre-exemples" comme le cas de R qui est complet tous en étant un ouvert (non fermé) de R barre...

[invite97a526b6]

J'ajoute une précision:
Si l'espace métrique E est lui-même compact, alors, les trois ensembles suivants sont confondus:
- l'ensemble des parties fermées de E
- l'ensemble des parties complètes de E
- l'ensemble des parties compactes de E
Mais cet ensemble est contenu strictement dans l'ensemble de toutes les parties de E, lesquelles sont bornées et précompactes

Voilà ce que je déduis de mon cours de TOPO (exclusivement centré sur les espaces métriques)

Si ce que j'affirme n'était pas exact, c'est que je n'ai pas bien compris...

[invite4ef352d8]

tous à fait