Dérivabilité

[invite3424b43e]

Bonsoir à vous tous

J'ai un petit souci sur un exercice : Soit I un intervalle de R et f de I dans R dérivable s'annulant en au moins k points distincts (k>=2). Montrer que f' s'annule en au moints (k-1) points distincts.


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[invite314eea43]

Bonsoir,

Essaie d'appliquer le théorème de Rolle à des intervalles judicieusement choisis.

good luck

[invite3424b43e]

Bonsoir J'ai essayé mais je ne vois pas comment faire!

[invite314eea43]

qu'est ce que tu as essayé de faire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3424b43e]

J'ai déjà essayé de réfléchir à un raisonnement, mais malheureusement j'aboutis pas trop, et j'ai pensé à ce théorème et à ses corollaires mais bon je ne vois pas trop ... Et puis le plus dur pour moi c'est de rédiger rigoureusement

[invite314eea43]

le thm de Rolle nous dit que :
si f est continue sur (a,b), dérivable sur )a,b( et que f(a)=f(b)
alors il existe c dans )a,b( tel que f'(c)=0

ici tu dois montrons qu'il existe k-1 c tels que f'(c)=0
donc appliquer le thm de rolle k-1 fois
donc trouver k-1 intervalles comme ceux du théorème qui te sont donnés par l'hypothèse de l'énoncé

j'espère que ca te débloquera

[invite3424b43e]

Oui mais rien ne me dit qu'il existe a,b tels que f(a)=f(b) non ?
Je dois donc faire une sorte de récurrence ?
Je comprend bien maintenant le principe, et pour être rigoureux, je dois rédiger comment ? Supposer quoi ?

[invite314eea43]

tu sais que f s'annule k fois, essaie de formaliser mathématiquement cette proposition et tu vas trouver tes a et tes b

[invite3424b43e]

J'essaye de réfléchir à tout ça, je pourrais t'exposer cela d'ici là ?

bonne soirée !

[invite314eea43]

ca marche

n'oublie pas essaie d'appliquer le thm de Rolle k fois sur k intervalle "type thm de rolle" construit à l'aide des hypothèses de l'énoncé

bonne soirée

[invite9a322bed]

Si ta fonction s'annule k fois sur un intervalle.

Si tu nommes les a_i i variant de 1 à k les points ou f(k) est nulle.

Alors si tu appliques le th de Rolle dans chacun des intervalles [a_i,a_{i+1} ] avec i entre 1 et k-1, tu peux conclure..

[invite3424b43e]

Re-bonsoir, pas de problème tout est en ordre, j'ai bien réussi à rédiger tout cela convenablement, merci à vous!