Démonstration peu triviale

[ClairEsprit]

Bonjour, je n'arrive pas à modéliser une fonction. Il s'agit de trouver une fonction analytique permettant de donner l'indice d'un paramètre parmi une collection de paramètres données, de nombre connu. Peut-être la fonction analytique n'existe-t-elle pas; mais peut-être y a-t-il un moyen de modéliser le problème d'une façon telle que la description de la fonction puisse être utilisée dans une démonstration. Je précise que ce problème est issu d'un cas spécial que je dois résoudre dans le cadre de mon travail et qu'il ne s'agit pas d'un exercice à résoudre pour demain... (même si il me faudrait le résultat pour demain )

On a une liste de quantités à trier. Ces quantités s'expriment de la sorte :

q_i = x.p_i(a_i) +y.p_i(b_i) + z.p_i(c_i)

avec:
x, y et z appartenant à IR, des coefficients constants de pondération arbitraires
a_i, b_i et c_i appartenant à IR, des valeurs aléatoires admettant une borne inférieure et une borne supérieure (trois couple de bornes)
p_i(a_i) la position de la valeur a_i parmi toutes les valeurs a_i ordonnées de façon croissante, i allant de 1 à n
p_i(b_i) la position de la valeur b_i parmi toutes les valeurs b_i ordonnées de façon croissante, i allant de 1 à n
p_i(c_i) la position de la valeur c_i parmi toutes les valeurs c_i ordonnées de façon croissante, i allant de 1 à n

Je veux montrer que les quantités q_i s'ordonnent de la même façon que je calcule les p_i une fois toutes les valeurs connues, c'est-à-dire en calculant les positions des valeurs a, b et c pour tous les indices, ou que je les calcule au vol, par examen d'une quantité puis d'une autre...

suis-je clair ?
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[ClairEsprit]

suis-je clair ?

Pas trop sans doute... petite précision :

ce qu'il convient de montrer, c'est que les q_i = x.p_i(a_i) +y.p_i(b_i) + z.p_i(c_i)

s'ordonnent de la même façon que les q'_i = x.a_i +y.b_i + z.c_i

L'idée intuitive et conjecturelle étant que substituer les positions aux valeurs elles mêmes en facteur n'apporte rien en terme de croissance de la fonction; sans doute parce que la suite des entiers doit recouvrir celle des réels, infinité oblige; et qu'à chaque successeur d'un réel je dois pouvoir associer un successeur d'un entier. Du coup il est facile d'ordonner les quantités au fil de l'eau, programmatiquement, plutôt que de les ordonner à la fin ce qui encombre notoirement la mémoire des ordinateurs.

Mais est-ce bien vrai, que les q_i = x.p_i(a_i) +y.p_i(b_i) + z.p_i(c_i) s'ordonnent comme les q'_i = x.a_i +y.b_i + z.c_i ??

[inviteea028771]

Mais est-ce bien vrai, que les qi = x.pi(ai) +y.pi(bi) + z.pi(ci) s'ordonnent comme les q'i = x.ai +y.bi + z.ci ??

A priori il n'y a pas de raison pour que les
qi = x.pi(ai) +y.pi(bi) s'ordonnent comme les q'i = x.ai +y.bi + z.ci

Petit contre exemple en simplifiant le problème pour 2 valeurs (x et y) et en prenant comme valeurs :
* x=2, y=1
* a1 = 1, a2= 2 , p(a1) = 1, p(a2) = 2
* b1 = 10, b2 = 1, p(b1) = 2, p(b2) = 1

q1 < q2 : 2x1 + 1x2 < 2x2 + 1x1
Mais
q'1 > q'2 : 2x1 + 1x10 > 2x2 + 1x1

[ClairEsprit]

A priori il n'y a pas de raison pour que les
qi = x.pi(ai) +y.pi(bi) s'ordonnent comme les q'i = x.ai +y.bi + z.ci

Petit contre exemple en simplifiant le problème pour 2 valeurs (x et y) et en prenant comme valeurs :
* x=2, y=1
* a1 = 1, a2= 2 , p(a1) = 1, p(a2) = 2
* b1 = 10, b2 = 1, p(b1) = 2, p(b2) = 1

q1 < q2 : 2x1 + 1x2 < 2x2 + 1x1
Mais
q'1 > q'2 : 2x1 + 1x10 > 2x2 + 1x1

Oui , c'est vrai; cependant , avec :
* x=1, y=1
* a1 = 1, a2= 2 , p(a1) = 1, p(a2) = 2
* b1 = 10, b2 = 1, p(b1) = 2, p(b2) = 1

q1=x.p(a1)+y.p(b1) = 1.1+1.2 = 3
q2=x.p(a2)+y.p(b2) = 1.2+1.1 = 3

q'1=x.a1+y.b1 = 1.1+1.10 = 10
q'2=x.a2+y.b2 = 1.2+1.1 = 3

j'ai q1<=q2 et q'1<=q'2

En fait ce n'est pas l'inégalité stricte qui m'intéresse, c'est l'inégalité non stricte, et en plus, j'ai comme condition x+y+z=1.
Mais ce que je voudrais c'est expliciter mathématiquement la correspondance entre une valeur et sa position dans une liste ordonnée de façon à examiner la croissance de la fonction q(i) par sa dérivée pour examiner les différents cas de ce problème. Est-ce possible ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Oui , c'est vrai; cependant , avec :
* x=1, y=1
* a1 = 1, a2= 2 , p(a1) = 1, p(a2) = 2
* b1 = 10, b2 = 1, p(b1) = 2, p(b2) = 1

q1=x.p(a1)+y.p(b1) = 1.1+1.2 = 3
q2=x.p(a2)+y.p(b2) = 1.2+1.1 = 3

sur qu'avec x=y de toute façon q1=q2 !!!!!

et globalement on montre facilement que ça ne marche pas si a,b,ou c deviennent négatif, car les q' partent dans tous les sens.

[ClairEsprit]

sur qu'avec x=y de toute façon q1=q2 !!!!!

oui évidemment

Mais je veux étudier le comportement avec x, y z arbitraires. Ma question initiale portait sur l'expression mathématique de la fonction "position de", et comment en prendre une dérivée. Ca ne doit pas être si simple... (sauf quand on sait déjà)