Equations différentielles

[Kavey]

Bonjour,

j'ai un exercice sur les équations différentielles où il y a un système qui est :
4x' = -3kx + ky
4y' = kx - 3ky

Et on me demande : Former l'équation différentielle dont la fonction x(t) est solution.

Je ne comprend pas la question pourriez-vous m'aider? Et quelle serait les méthodes pour résoudre cette question?

Je vous remercie d'avance pour votre aide =)
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[God's Breath]

Tu dérives la première équation : .
Avec la deuxième équation : .
La première équation fournit .
Ce qui permet d'avoir une équation du second ordre en .

[Kavey]

Merci pour ta réponse mais je ne comprend pas comment tu as trouvé cette équation : x" = -3kx' + ky' parce-que quand je dérives la première équation comme tu dis et bien ça me donne ceci :
(-4x' = -3kx + ky )' = -4x" = -3kx' + ky'

je ne vois pas comment tu as trouvé seulement x" au lieu de 4x" =S me serais-je trompé quelque part?

[God's Breath]

J'ai oublié un facteur 4 dans mes calculs...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kavey]

Ah d'accord par contre je n'ai pas compris aussi comment tu as fait pour trouver, dans ta deuxième équation : 4x" = -12kx'+ k(kx-3ky), tu as dérivé?

[God's Breath]

J'ai remplacé y' par son expression donnée par la deuxième équation, aux erreurs de calcul près, ce dont je suis très friand...

[Kavey]

Ben justement c'est le -12kx' que je comprend pas... JE ne vios pas d'où peut sortir ce coefficient =S

[God's Breath]

Tu dérives la première équation : .
Avec la deuxième équation : .

30 secondes de réflexion amènent à voir que, de la première à la deuxième équation :
– est devenu ;
– est devenu ;
– est devenu , c'est-à-dire que est devenu ;
ce qui signifie tout simplement que la première équation a été multipliée par 4.

[Kavey]

D'accord merci je vois mieux maintenant pourquoi tu as écrit ça mais pourquoi ky' n'a pas été multiplié par 4 lui, et je ne comprend pas pourquoi avoir multiplié par 4?

[God's Breath]

Pour me simplifier la vie, et ne pas avoir de dénominateurs.

[Kavey]

Et pourquoi kx' n'est pas multiplié par 4 lui aussi?

[God's Breath]

Je l'ai déjà dit : j'ai fait des erreurs de calcul... et je n'ai pas envie de les corriger...

[Kavey]

Ben comment tu veux aider si tu ne te corriges pas pour que ceux que tu aides comprennes... Enfin bref c'est pas grave mais merci de ton aide.

[ericcc]

Tu peux aussi regarder ce que donnent ces équations quand tu les ajoutes et quand tu les soustrais. Ca donne des résultats intéressants

[Kavey]

J'ai fait et je trouve ceci : 4x" = -12kx'+4k²x-4k²y

En fait cet exercice est un QCM mais je ne retrouve pas une réponse dans celle proposée =S

Par contre dans les propositions toutes les équations sont sans second membre et sans y... Comment faire pour pouvoir les retrouver?

[God's Breath]

4x' = -3kx + ky
4y' = kx - 3ky

En espérant que les calculs soient justes.

De , on déduit .

De et (1), on déduit , donc .

En dérivant (1), on obtient .

En éliminant y' entre (2) et (3), on obtient .

L'équation demandé est .

[Kavey]

Ah je comprend c'est exact =) Merci pour ton aide.

Mais en fait est-ce-qu'il existe une méthode pour voir directement qu'est-ce-qu'il faut faire ou c'est avec les exo qu'on voit? PArce-que j'ai un peu du mal avec ce genre de système =/

[God's Breath]

La méthode sera toujours celle que j'emploie, c'est-à-dire un jeu de combinaison entre les équations, mais il faudra bien évidemment l'adapter à chaque cas particulier pour arranger les calculs, éliminer ce qui gêne (les y et y'), et ne conserver que ce qui intéresse (les x, x', x'').

[Kavey]

Ensuite on me demande d'écrire l'équation caractéristique, je trouve donc :
0 = 2x"+3kx'+k²x
==> 0 = 2r²+3kr+k²

Puis on me demande de calculer les solutions de cette équation caractéristique :
delta = (3k)²-4(2)(k²)
delta = -5k²

Comment calculer ensuite? Je ne sais plus =S

x₁ = -3k-i V( -5k² ) / 4
x₂ = -3k+i V( -5k² ) / 4 ?

Est-ce bon? =/

[invitea350fd50]

Sinon, en remarquant que x et y ont des roles symetriques, tu peux faire (1)+(2) et (1)-(2) et resoudre deux equa diff d'inconnu x+y et x-y, puis resoudre ton systeme pour avoir x(t) et y(t)

sinon il me semble dans ton dernier calcul que cela fait k².

[Kavey]

La méthode sera toujours celle que j'emploie, c'est-à-dire un jeu de combinaison entre les équations, mais il faudra bien évidemment l'adapter à chaque cas particulier pour arranger les calculs, éliminer ce qui gêne (les y et y'), et ne conserver que ce qui intéresse (les x, x', x'').

Ah ok merci =)

[Kavey]

sinon il me semble dans ton dernier calcul que cela fait k².

Ah oui exact! J'ai fait une erreur de calcul idiote... Merci.

J'ai donc finalement trouvé comme solutions x₁ = -k et x₂ = -k/2

Et l'expression générale des fonctions x(t) solutions de l'équations différentielle où lambda et µ sont des constantes arbitraires indéterminées :
J'ai trouvé : x(t) = µ.exp(-k/2.t)+lambda.exp(-kt)

Ensuite on me demande d'en déduire l'équation générale des fonctions y(t), dont on garde les constantes.
J'ai tout refais et j'ai trouvé la même équation caractéristique ce qui implique qu'on ait les mêmes solutions ainsi que les mêmes équations générales aussi, est-ce-que c'est toujours le cas quand on part d'un même système? : y(t) = µ.exp(-k/2.t)+lambda.exp(-kt)

Puis à la question suivante on me dit : sachant qu'à t=0, on a x(0)=C₀ et que y(0)=0, donner l'expression de x(t).

Mais je ne comprend pas trop ce qui est demandé de cherché... Il faut remplacer t par C_O pour x(t) et t par 0 pour y(t)?

[ericcc]

Tu as x(t)=exp(-kt/2)+exp(-kt)
Donc
x(0)=+=Co
et
y(t)=exp(-kt/2)-exp(-kt) Attention tu as fait une erreur dans l'expression de y(t)
D'où y(0)=0=-

D'où lambda et mu.

[Kavey]

y(t)=exp(-kt/2)-exp(-kt) Attention tu as fait une erreur dans l'expression de y(t)
D'où y(0)=0=-

Aaah d'accord merci. Par contre pourquoi y(t) serait égal à y(t)=µ.exp(-kt/2)-lambda.exp(-kt) ? On trouve pourtant la même équation caractéristique que x(t) non?

[ericcc]

Oui mais tes équations de départ te donnent une information supplémentaire sur les coefficients à appliquer à exp(-kt/2) et exp(-kt) : tu sais que ky=4x'+3kx

[Kavey]

Je ne vois pas ce que tu veux dire.... Pourrais-tu m'expliquer? =/

[ericcc]

y a la même équation caractéristique que x, donc on sait que y(t)=a*exp(-kt/2)+b*exp(-kt).
On ne sait pas - apriori - que a et b sont les mêmes que lambda et mu de x(t).

Par contre ton système te dit que ky=4x'+3kx, cela te permet de fixer a et b en fonction de lambda et mu.

Tu peux voir cela comme suit : au départ tu as deux équations qui te donnent de l'information. Puis tu fais des calculs pour les combiner en une seule qui te donne l'équation caractéristique. En faisant cela tu as "perdu" de l'information. Il faut donc toujours garder en mémoire une des équations initiales en plus de celle qui te donne l'équation différentielle que suit y(t).

[Kavey]

Je viens de refaire mes calcules et je retrouve exactement les mêmes équations qu'avec x(t) alors d'ou peut bien venir le signe moins dans la solutions de y(t)?

[ericcc]

Relis mon message : tu as raison de dire que c'est la même équation que celle de x(t), et donc y est une combinaison linéaire de exp(-kt/2) et de exp(-kt).
Mais il te faut trouver les coefficients de cette combinaison linéaire. Ils ne sont pas fixés au hasard, ils dépendent de ceux de x, à cause du système d'équation de départ. C'est pour cette raison que j'utilise la formule ky=4x'+3kx, qui te donne le fameux signe "moins"

[Kavey]

Donc si je comprend bien lorsqu'on a trouvé l'équation caractéristique, pour trouver l'autre il faut inverser le signe? Ou ça se retrouve par le calcul?