[CPGE - PT] Racines d'un polynôme
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[CPGE - PT] Racines d'un polynôme



  1. #1
    ScgBoy

    [CPGE - PT] Racines d'un polynôme


    ------

    Bonjour, j'ai un TD à finir pendant le week-end, et je bloque sur une question.
    Voici un lien où il y a là fameuse question.

    http://forums.futura-sciences.com/at...1&d=1263581784

    4) Alors, pour cette question, je ne vois pas comment évoluer. Je pensais faire une récurrence, mais je n'y arrive pas.

    5) Je pense que cette question est une application de la question 4 en prenant le cas R+ et R-.


    Je vous remercie de l'aide apportée

    -----
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  2. #2
    inviteeef69825

    Re : [CPGE - PT] Racines d'un polynôme

    en dérivant tout ça ça devrait passer non ?

  3. #3
    mx6

    Re : [CPGE - PT] Racines d'un polynôme

    Alors pour la deuxième question question, montrer que P(X) s'annule 3 fois sur R+ et donc sur R- P(-X) s'annule aussi au plus 3 fois, et P( 0) différent de 0. Donc on peut conclure !

    Pour la première, il doit y avoir surement du Rolle dedans ^^

  4. #4
    ScgBoy

    Re : [CPGE - PT] Racines d'un polynôme

    Merci de vos réponses.

    Alors pour la deuxième question, j'ai compris, je vous remercie

    Pour la 1ère, vous me conseillez d'utiliser la dérivée. Mais je ne vois pas comment faire. Est-ce que l'idée de la récurrence est bonne? Si oui, est-ce astucieux de dériver?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    mx6

    Re : [CPGE - PT] Racines d'un polynôme

    On peut avoir les questions d'avant car ca peut aider....

    Je ne sais pas si ca va être utile : Si f' s'annule au plus n-1 fois sur un intervalle, alors f s'annule au plus n fois sur cet intervalle. (on le démontre par l'absurde par Rolle).

  7. #6
    ScgBoy

    Re : [CPGE - PT] Racines d'un polynôme

    Voila l'exo :
    http://forums.futura-sciences.com/at...1&d=1263585928

    1) J'ai énoncé le théorème

    2) Je l'ai appliqué sur p subdivisions.

    3) Je l'ai démontré, justement par l'absurde.

    => Donc je bloque sur la 4)
    Images attachées Images attachées  

  8. #7
    mx6

    Re : [CPGE - PT] Racines d'un polynôme

    Ok, en effet, il faudra le démontrer par récurrence .

    Pour n=1 c'est OK !
    En effet, f(x)=aXb s'annule pas sur ]0,+oo[ sinon a=0, ce qui est absurde. (contraire aux hyp).

    Sq P soit vraie pour un rang n

    On pose .

    Et on lui associe la fonction : .
    Alors .
    Donc g' peut être associé à une fonction f_n, et donc par hypthèse de rec, elle s'annule au plus n-1 fois ! Et par la propriété que t'as démontré precédement, g s'annule au plus n fois ! Ainsi Pn+1 est vrai !
    PS : Et si g(x ) s'annule alors f aussi, car sur ]0,+oo[ X est différent de 0 !

  9. #8
    ScgBoy

    Re : [CPGE - PT] Racines d'un polynôme

    D'accord, merci beaucoup

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