Racines complexes d'un polynome

[invitec9a9f4a6]

Bonjour à tous !

Ca fait un petit moment que je n'ai plus touché aux polynomes, je suis quelques peu rouillé...
On me de demande de trouver toutes les racines complexes du polynomes suivant :

16X⁴ - 12X² +1

J'ai commencé par effectuer un changement de variable en posant :
x = X²
Ca me donne une équation du second degré, le problème c'est que le discriminant est positif... Je n'obtiens donc que 4 racines réelles, ce qui m'embarrasse un peu dans la mesure où je ne sais pas trop quoi en faire... Je pense qu'il faudrait passer par la forme exponentielle mais je ne trouve aucune solution...

Si quelqun peut me lancer sur une piste je lui en serai très reconnaissant.
Merci !
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[invite0f6f1e2d]

c'est qui tu as effectué est absolument vrai.
il suffit de remarquer simplement qu'une racine réelle est bien évidemment une complexe.
pour confirmer ce résultat , il est clair que le nombre des solutions trouvés =le degré du polynome
pour ce qui concerne la méthode de exponentielle dont tu as parlé ; peux-tu l'expliquer mieux encore ?...bon courage

[invitec9a9f4a6]

Le résultat fonctionne pourtant je ne suis pas persuadé...
Dans la question d'après ils demandent d'en déduire la valeur exacte de cos(pi/5)...
Je sais qu'en passant par la forme exponentielle on peut passé des racines complexes aux racines réelles. Je me demandais si l'inverse n'était pas possible... Le soucis c'est que mes racines réelles ne ressemblent à aucune forme trigonométrique triviales !

[invitec317278e]

Si tu développe convenablement , tu devrais voir des choses intéressantes venir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec9a9f4a6]

Merci, j'vais tenter de faire ça.

[invitec317278e]

note quand même quelques petites choses pour te simplifier la vie :

-le polynôme que j'ai écrit est un polynôme pair, il n'a donc pas de coefficient pour les x de degré impair.
-le coefficient de x^4 est évident
-pour les autres coefficients, il peut être utile de se rappeler que :
, et que , et idem pour les autres...
-tu te rappelleras aussi de la formule qui permet de transformer un produit de cosinus en une somme de cosinus.

Avec tout ça, tu as les outils pour réussir à développer mon polynôme.

Tu peux aussi réinjecter les cos dans ton polynôme et montrer que c'est une racine...

[breukin]

Il faut à mon avis exprimer cos 5x en fonction de cos x.
Et on va faire apparaître l'équation en question en cos x.

[invitec317278e]

Cos(5x)=16cos(x)^5-20cos(x)^3+5cos(x).

donc...

[breukin]

Pardon, c'était plutôt sin 5x en fonction de cos x (via en fonction de sin x) !

[invitec9a9f4a6]

En effet l'équation apparait bien si on dévelloppe sin( 5x ) ... Fallait y penser quand même !
En tout cas merci à tout le monde pour ces indications !

[invite0f6f1e2d]

note quand même quelques petites choses pour te simplifier la vie :

-le polynôme que j'ai écrit est un polynôme pair, il n'a donc pas de coefficient pour les x de degré impair.
-le coefficient de x^4 est évident
-pour les autres coefficients, il peut être utile de se rappeler que :
, et que , et idem pour les autres...
-tu te rappelleras aussi de la formule qui permet de transformer un produit de cosinus en une somme de cosinus.

Avec tout ça, tu as les outils pour réussir à développer mon polynôme.
Tu peux aussi réinjecter les cos dans ton polynôme et montrer que c'est une racine...

salut ;

ma question peut apparaître un peu tordu ; mais comme même je veux savoir comment as-tu pensé à ce produit :


est égale au polynome de départ .

deuxièment ; y-a-t-il une méthode autre que p(x)=p(-x) pour vérifer qu'un produit comme celui ci desus est un polynome pair ou pas ?

enfin , je voulais savoir comment je peux retrouver la somme que tu as déjà donné:


j'aipensé à la somme des racines 5-ème de l'unité, mais pas trouvé encore...

je compte sur toi et sur tous les amis pour me répondre.
merci d'avance.

[invitec317278e]

pour montrer la parité, c'est comme toujours en maths, faut pas se restreindre à une seule manière possible d'arriver à un résultat !
Il y a par exemple des propriétés qui relient la parité de la fonction et celle de sa dérivée ; on peut aussi dire que le produit de 2 fonctions impaires est pair, etc...

Pour la somme des cosinus, elle vient immédiatement de la somme des racines 5-ième de l'unité, dont on prend la partie réelle.
(je rappelle que les racines 5ièmes de l'unité forment un pentagone centré en 0, et que donc, leur somme est 0 (barycentre))

Et pour le polynôme...si ton énoncé te demande d'en déduire cos(pi/5), il y a de grandes chances pour que ça veuille dire que cos(pi/5) en soit une racine.
et puis comme le polynôme est pair, ça veut dire que -cos(pi/5)=cos(4pi/4) en est solution aussi...à partir de là, cos(2pi/5) et cos(3pi/5) étaient de bons candidats pour être les 2 autres racines (car cos(2pi/5)=- cos(3pi/5) donc respect de la parité). Puis, j'ai multiplié par 16 par nécessité, et j'ai vérifié que j'avais raison en traçant le graphe sur ma calculette.

Puis longtemps après, jme suis demandé si toutefois, le développement était évident, et m'apercevant qu'il pouvait être hyper calculatoire si on s'y prenait mal, j'ai posté mon second message XD.

[invite0f6f1e2d]

salut ;
primo; je te remercie sur ce que tu as déjà donné et je voudrais savoir si c'est possible les techniques les plus populaires pourdéterminer la parité d'un polynome ou d'une fonction .
j'ai pensé à appliquer la règle du produit des fonctions impaires , mais j'ai été obligé dans cet exemple à faire les produits cos(x) cos(y)
d'où la parité n'est pas déterminé à vue.
en second ordre ; nous sommes en prépa ; et nous serons dans quelques années des ingénieurs; je l'espère bien sûr .
donc ; ceux qui vont proposer lesexercices ; c'st nous ; et ceux qui ont poser les questions est sans aucun doute : nous.

à ce niveau là ; c'est tès intelligent e tricher de la deuxième question .

ce n'est pas tout à fait tricher dans son propre sens ; puisque la science est une étude exacte : ou bien oui ; ou bien non[, mais ça reste tricher puisque je n'ai pas trouvé le mot exact



[QUOTE=



"Et pour le polynôme...si ton énoncé te demande d'en déduire cos(pi/5), il y a de grandes chances pour que ça veuille dire que cos(pi/5) en soit une racine.
et puis comme le polynôme est pair, ça veut dire que -cos(pi/5)=cos(4pi/4) en est solution aussi...à partir de là, cos(2pi/5) et cos(3pi/5) étaient de bons candidats pour être les 2 autres racines (car cos(2pi/5)=- cos(3pi/5) donc respect de la parité). Puis, j'ai multiplié par 16 par nécessité, et j'ai vérifié que j'avais raison en traçant le graphe sur ma calculette."

[/QUOTE]


donc si on se place dès maintenant à la place de l'ingénieur ; ce n'est pas une surprise qu'on s'attend à ces cos(pi/5); cos(2pi/5)......
ça reste comme même une justification du résultat

je souhaite qu'on aboutira à une solution

" tous les efforts se reunissent pour former un nouveau effort "

[breukin]

Evidemment que si l'on demande d'en déduire cos pi/5, c'est que cos pi/5 doit être une solution.

Quant à ma solution, puisque (pi/5)x5=pi et que les lignes trigonométriques de pi sont connues, ça fait penser à développer cos 5x et sin 5x.