Groupe linéaire

[Sam*]

Bonsoir , pourriez-vous me dire si le groupe linéaire est un sous-espace vectoriel de , parce que j'ai vu dans un exo ou on me demandait de vérifier ça, j'ai essayé et j'ai trouvé une réponse mais je voudrais etre sure. Merci.
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[God's Breath]

Bonjour,

Le groupe linéaire n'est que très rarement un sous-espace vectoriel de ...

[Sam*]

Bonjour,

Le groupe linéaire n'est que très rarement un sous-espace vectoriel de ...

On ne peut donc pas avoir une démonstration géneral permettant d'affirmer si ce groupe est un sev ou pas ??

[God's Breath]

On peut très facilement prouver que est un sous-espace vectoriel de si, est seulement si .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2e5fadca]

Pour que soit un sous espace vectoriel de , il faut nécessairement que :

- La matrice nul soit dans Or la matrice nulle n'est jamais inversible, et donc par définition ne peut pas être dans ...

- Si A et B sont deux matrices inversibles, alors A+B doit êtr inversible, ce qui est faux en géneral.

[God's Breath]

Or la matrice nulle n'est jamais inversible

Si, si , si !!! La matrice nulle est inversible, pour , et uniquement dans ce cas (son déterminant vaut 1 et elle est sa propre inverse).
Auquel cas est réduit à la matrice nulle de taille nulle, et est un espace vectoriel de dimension nulle.

[invite2e5fadca]

Je ne savais pas. Merci. Je pense que c'est comme quand l'on prend un corps à 1 élément, on a K={0}={1}.

[invitec053041c]

Bonsoir God's breath ,

Si, si , si !!! La matrice nulle est inversible, pour , et uniquement dans ce cas (son déterminant vaut 1 et elle est sa propre inverse).
Auquel cas est réduit à la matrice nulle de taille nulle, et est un espace vectoriel de dimension nulle.

Vous utilisez la formule [agressive à l'oeil, jamais utilisée en pratique ] du déterminant (somme sur les permutations de Sn etc.) pour affirmer que le déterminant d'une telle matrice vaut 1 ?
Il est vrai que cette application sera clairement bijective (0 tape sur 0, et seulement lui..), mais c'est le 1 m'intrigue .

Cordialement,
François

[God's Breath]

Vous utilisez la formule [agressive à l'oeil, jamais utilisée en pratique ] du déterminant (somme sur les permutations de Sn etc.) pour affirmer que le déterminant d'une telle matrice vaut 1 ?

Bonjour François,

On peut effectivement le voir par développement du déterminant : c'est une somme qui est réduite à un terme, qui vaut 1 puisque c'est un produit vide de facteurs.

On peut aussi considérer que l'unique endomorphisme d'un espace de dimension est une homothétie, de rapport indéterminé, donc de déterminant puisque , même si on considère que (cf. l'excellent topo de Médiat sur ).

Bien évidemment, on ne rencontre que très rarement l'unique endomorphisme/automorphisme d'un espace vectoriel de dimension nulle, et la matrice de taille nulle qui le représente, mais ces objets existent, et conduisent parfois à un cas particulier dans un théorème général, comme ici : est un sous-espace vectoriel de si et seulement si est de dimension nulle.

Il faut bien remarquer qu'une matrice, à éléments dans , de taille est une application définie sur un ensemble d'indices . Si est nul, ou si l'est, ou si les deux le sont, alors , et il existe alors une unique application de dans , dont le graphe est bien évidemment vide, c'est-à-dire qu'il existe une seule matrice de taille nulle, la matrice vide : .

[inviteb3540c06]

God's breath ...

[invitec053041c]

Parfait God's Breath, merci pour ces explications !

[Sam*]

Excellent , merci God's breath !!!!!!!!!!!