Bonsoir , pourriez-vous me dire si le groupe linéaire est un sous-espace vectoriel de , parce que j'ai vu dans un exo ou on me demandait de vérifier ça, j'ai essayé et j'ai trouvé une réponse mais je voudrais etre sure. Merci.
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21/02/2009, 18h00
#2
invite57a1e779
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Re : Groupe linéaire
Bonjour,
Le groupe linéaire n'est que très rarement un sous-espace vectoriel de ...
21/02/2009, 18h05
#3
invite341bf20d
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Re : Groupe linéaire
Envoyé par God's Breath
Bonjour,
Le groupe linéaire n'est que très rarement un sous-espace vectoriel de ...
On ne peut donc pas avoir une démonstration géneral permettant d'affirmer si ce groupe est un sev ou pas ??
21/02/2009, 18h07
#4
invite57a1e779
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Re : Groupe linéaire
On peut très facilement prouver que est un sous-espace vectoriel de si, est seulement si .
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
21/02/2009, 20h55
#5
invite2e5fadca
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Re : Groupe linéaire
Pour que soit un sous espace vectoriel de , il faut nécessairement que :
- La matrice nul soit dans Or la matrice nulle n'est jamais inversible, et donc par définition ne peut pas être dans ...
- Si A et B sont deux matrices inversibles, alors A+B doit êtr inversible, ce qui est faux en géneral.
21/02/2009, 20h59
#6
invite57a1e779
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Re : Groupe linéaire
Envoyé par GogetaSS5
Or la matrice nulle n'est jamais inversible
Si, si , si !!! La matrice nulle est inversible, pour , et uniquement dans ce cas (son déterminant vaut 1 et elle est sa propre inverse).
Auquel cas est réduit à la matrice nulle de taille nulle, et est un espace vectoriel de dimension nulle.
21/02/2009, 21h03
#7
invite2e5fadca
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Re : Groupe linéaire
Je ne savais pas. Merci. Je pense que c'est comme quand l'on prend un corps à 1 élément, on a K={0}={1}.
21/02/2009, 21h06
#8
invitec053041c
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Re : Groupe linéaire
Bonsoir God's breath ,
Envoyé par God's Breath
Si, si , si !!! La matrice nulle est inversible, pour , et uniquement dans ce cas (son déterminant vaut 1 et elle est sa propre inverse).
Auquel cas est réduit à la matrice nulle de taille nulle, et est un espace vectoriel de dimension nulle.
Vous utilisez la formule [agressive à l'oeil, jamais utilisée en pratique ] du déterminant (somme sur les permutations de Sn etc.) pour affirmer que le déterminant d'une telle matrice vaut 1 ?
Il est vrai que cette application sera clairement bijective (0 tape sur 0, et seulement lui..), mais c'est le 1 m'intrigue .
Cordialement,
François
21/02/2009, 21h39
#9
invite57a1e779
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Re : Groupe linéaire
Envoyé par Ledescat
Vous utilisez la formule [agressive à l'oeil, jamais utilisée en pratique ] du déterminant (somme sur les permutations de Sn etc.) pour affirmer que le déterminant d'une telle matrice vaut 1 ?
Bonjour François,
On peut effectivement le voir par développement du déterminant : c'est une somme qui est réduite à un terme, qui vaut 1 puisque c'est un produit vide de facteurs.
On peut aussi considérer que l'unique endomorphisme d'un espace de dimension est une homothétie, de rapport indéterminé, donc de déterminant puisque , même si on considère que (cf. l'excellent topo de Médiat sur ).
Bien évidemment, on ne rencontre que très rarement l'unique endomorphisme/automorphisme d'un espace vectoriel de dimension nulle, et la matrice de taille nulle qui le représente, mais ces objets existent, et conduisent parfois à un cas particulier dans un théorème général, comme ici : est un sous-espace vectoriel de si et seulement si est de dimension nulle.
Il faut bien remarquer qu'une matrice, à éléments dans , de taille est une application définie sur un ensemble d'indices . Si est nul, ou si l'est, ou si les deux le sont, alors , et il existe alors une unique application de dans , dont le graphe est bien évidemment vide, c'est-à-dire qu'il existe une seule matrice de taille nulle, la matrice vide : .
21/02/2009, 21h57
#10
inviteb3540c06
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Re : Groupe linéaire
God's breath ...
21/02/2009, 23h43
#11
invitec053041c
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Re : Groupe linéaire
Parfait God's Breath, merci pour ces explications !