Différentiabilité, question élémentaire

[inviteb7283ac9]

Bonjour,

Je voulais savoir pourquoi l'application :



est-elle différentiable sur R²\(0,0)

Je ne me souviens plus des arguments qu'a donné mon professeur. Je sais qu'il a mentionné le fait que le dénominateur était une fonction qui ne s'annulait pas, que la somme conservait la différentiabilité, il a aussi été question de bilinéarité...
La réponse tient en peu de lignes à priori, mais j'suis un peu perdu pour la retrouver.

Merci de m'éclairer
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[invitead1578fb]

Bonjour,

je montrerais que les dérivées partielle de la fonction existent et sont continues sauf en 0.
non?

Blable

[inviteb7283ac9]

je ne crois pas que ce fût la méthode adoptée...en fait on n'a rien montré, la réponse à été donnée oralement tellement cela était clair à priori

[inviteb7283ac9]

De plus, je me trompe peut etre, mais cela ne prouverait pas la differentiabilité...c'est une condition nécessaire mais pas suffisante

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitead1578fb]

Re,

une fonction f est sur ou continûment différentiable sur si elle admet des dérivées partielles en tout point de et si ces dérivées sont continues

[invitead1578fb]

d'autre part, je sais pourquoi vous l'avez fait vite,
pour te répondre précedemment j'ai regardé mon ancien cours de maths et je vois:

Soit et ne s'annulant pas sur alors l'est ;

il suffit donc de dire que ta fonction est différentiable comme rapport de deux fonctions évidemment différentiables en dehors des pôles de la fonction au dénominateur qui se réduisent à {0}


Bonne journée
Blable

[inviteb7283ac9]

On suppose donc que le produit d'applications différentiables est différentiable. Je crois que c'est là qu'intervient la notion de bilinéarité...mais je ne vois pas en quoi.

[invitead1578fb]

Re encore une fois,

reprenons la notion de différentiabilité:

pour f si différentiable, et
pour g si différentiable

donc d'où la différentiabilité du produit qui découle des différentiabilités de f et g

Blable

[inviteb7283ac9]

humm...j'suis pas vraiment convaincu par ta démonstration car je ne suis pas familier avec la définition que tu utilises (j'utilise f(x+h)=f(x)+Df(x)(h)+o(||h||)) , mais peu importe, je tirerai tout cela au clair plus tard. Pour le moment je vais me contenter des résultats.

Merci de ton aide en tout cas

Bonne soirée

[invitead1578fb]

Entre ce que tu écris et ce que j'écris je ne vois pas de différence, il suffit dans ton cas de remarquer que

D(fg)(x)=fD(g)(x)+gD(f)(x)
Blable