petite question !

[invite4a9059ea]

bonsoir ;

En relisant mon cours sur les applications , je me rend compte qu'il y a un concept que je n'arrive pas trop à saisir ; c'est la différence entre fonction et application ?

Merci de m'éclairer ...

Cordialement
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[inviteeef69825]

les fonctions sont un cas particuliers d'application; par convention lorsque tu manipules des fonctions tu vas de C dans C (l'ensemble des complexes), alors qu'une application associe à un élément quelconque (vecteur, polynôme, tétraèdre) un autre élément quelconque (scalaire, espace vectoriel, régime de bananes)

une application de ni'mporte quoi dans K = R ou C est appelée Forme linéaire

[invite4a9059ea]

moi l'impression que j'ai , c'est que tout élément de l'ensemble de départ d'une application possède forcément une image dans l'ensemble d'arrivée , contrairement à une fonction ou l'on peut trouver un élément de l'ensemble de départ qui ne possède pas par l'application un élément dans l'ensemble d'arrivé ....

merci de me corriger en cas d'erreur !

cdt

[inviteeef69825]

pardon, mais tu avais mal compris. Ce que tu dis 'a pas de sens puisque l'ensemble d'arrivée contient l'ensemble des images de la fonction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

moi l'impression que j'ai , c'est que tout élément de l'ensemble de départ d'une application possède forcément une image dans l'ensemble d'arrivée , contrairement à une fonction ou l'on peut trouver un élément de l'ensemble de départ qui ne possède pas par l'application un élément dans l'ensemble d'arrivé ....

C'est bien cela, (une application est un cas particulier de fonction), mais comme une fonction n'est pas forcément une application la phrase ci-dessus n'est pas correcte :
contrairement à une fonction ou l'on peut trouver un élément de l'ensemble de départ qui ne possède pas par la fonction un élément dans l'ensemble d'arrivé.
si f (une fonction) : E--> F, alors f est une application si dom(f) = E

[Médiat]

les fonctions sont un cas particuliers d'application;

Inexact

par convention lorsque tu manipules des fonctions tu vas de C dans C (l'ensemble des complexes),

Inexact

une application de ni'mporte quoi dans K = R ou C est appelée Forme linéaire

Inexact, une forme linéaire est une application linéaire d'un ev (donc pas n'importe quoi) dans son corps de base (qui peut être n'importe quel corps)

[invite4a9059ea]

Merci pour cette correction Médiat , je suis rassuré que mon raisonnement ne soit pas totalement érroné ....

cdt

[inviteeef69825]

En mathématiques, une application (ou fonction) f est la donnée de deux ensembles, l'ensemble de départ E et l'ensemble d'arrivée F, et d'une relation associant à chaque élément x de l'ensemble de départ un et un seul élément de l'ensemble d'arrivée, que l'on appelle image de x par f et que l'on note f(x). On dit alors que f est une application de E dans F (noté f : EF), ou encore une application à arguments dans E et valeurs dans F.
Le terme fonction est souvent utilisé pour les applications à valeurs numériques, réelles ou complexes, c'est-à-dire lorsque l'ensemble d'arrivée est ou . On parle alors de fonction réelle, ou de fonction complexe.
L'image d'une application f : EF est la collection des f(x) pour x parcourant E ; c'est un sous-ensemble de F.
Le graphe d'une application f : EF est le sous-ensemble du produit cartésien E × F constitué des couples (x,f(x)) pour x variant dans E. La donnée du graphe de f détermine son ensemble de départ (par projection sur la première composante) et son image (par projection sur la seconde composante).

[Flyingsquirrel]

@Weierstrass : Merci de citer ta source (en l'occurrence wikipedia (?)) quand tu copies un texte.

8. Ne vous appropriez pas les informations d'autrui, citez vos sources.

[inviteeef69825]

je le ferai à l'avenir.
On a ici deux définitions différentes, c'est assez ennuyeux...

[invite57a1e779]

N. Bourbaki, Éléments de mathématiques, Théorie des Ensembles, Hermann, Paris, 1970, E.II p. 13-14 :
« On dit qu'un graphe F est un graphe fonctionnel si, pour tout x, il existe au plus un objet correspondant à x par F. On dit qu'une correspondance f=(F,A,B) est une fonction si son graphe F est un graphe fonctionnel, et si son ensemble de départ A est égal à son ensemble de définition pr₁F.[...]
Soient A et B deux ensembles ; on appelle application de A dans B une fonction f dont l'ensemble de départ (égal à l'ensemble de définition) est égal à A et dont l'ensemble d'arrivée est égal à B. »

Jean-Louis Krivine, Théorie axiomatique des ensembles, 2^e ed., PUF, Paris, 1972, p. 21 :
« Une relation fonctionnelle R(x,y) à un argument dont le domaine est un ensemble, est elle-même un ensemble [...] Un tel ensemble f est appelé fonction définie sur a, à valeurs dans b, ou application de a dans b ou encore famille d'ensembles indexe par a. »

Les bons auteurs ne font aucune distinction entre « fonction » et « application ».

[inviteeef69825]

ça me rassure, moi non plus ^^

[Médiat]

Les bons auteurs ne font aucune distinction entre « fonction » et « application ».

Il est clair qu'en théorie des ensembles on ne fait pas la distinction, puisque si on a une fonction f (au sens : au plus une image) de a dans b, il est clair que dom(f) est un ensemble (axiome de séparation) et donc que f est une application (au sens : exactement une image) pour ce nouvel ensemble de départ, et que de ce point de vue il n'y a aucune de faire une différence entre les deux ; mais ce n'est pas ce qui est usuellement enseigné.

Que tu ranges JL Krivine parmi les "bons auteurs" me ravit et je ne vais surement pas dire le contraire (c'est lui, en tant que prof, qui a déclenché ma vocation pour la logique, uv que j'avais prise à cause de son horaire qui était compatible avec mon boulot ).

[invite57a1e779]

Il est clair qu'en théorie des ensembles on ne fait pas la distinction

Ben si, on fait la différence entre ce que Bourbaki appelle un graphe fonctionnel, et ce que Krivine appelle une relation fonctionnelle, et une fonction, ou application, dont ces deux auteurs sont d'accord pour dire que l'ensemble de départ et l'ensemble de définition coïncident.

Ils ne sont pas les seuls... R. Godement, Cours d'algèbre, 3^e ed., Hermann, Paris, 1966, p. 53-54 :
« on appelle fonction un triplet f=(G,X,Y) où G, X, Y sont des ensembles assujettis à vérifier les conditions suivantes :
(F 1) : on a ;
(F 2) : pour tout il existe un et un seul tel que .
[...] d'après (F 2), pour tout il existe un tel que ; on a donc [...]
Étant donnés deux ensembles X et U, on appelle application de X dans Y toute fonction ayant X pour ensemble de départ et Y pour ensemble d'arrivée ; les mots fonction » et « application » sont donc synonymes [...] »

[Médiat]

Ben si, on fait la différence entre ce que Bourbaki appelle un graphe fonctionnel, et ce que Krivine appelle une relation fonctionnelle, et une fonction, ou application

Là par contre je ne te suis pas, et je vois pas quelle différence fait Krivine :

Une relation fonctionnelle R(x,y) [...], est elle-même un ensemble [...] Un tel ensemble f est appelé fonction

Pour moi cette phrase veut bien dire que l'ensemble "relation fonctionnelle" = l'ensemble "fonction".

dont ces deux auteurs sont d'accord pour dire que l'ensemble de départ et l'ensemble de définition coïncident.

Je ne conteste pas ce point qui de toute façon est du pinaillage de vocabulaire, d'autant plus que en théorie des ensembles il n'y a vraiment aucune raison mathématique de faire la différence.

[invite57a1e779]

Un tel ensemble f est appelé fonction définie sur a, à valeurs dans b, ou application de a dans b ou encore famille d'ensembles indexe par a

Ma citation visait la formule « est appelé fonction [...] ou application » qui n'induit pas de différence entre les deux dénominations.

[Médiat]

Ma citation visait la formule « est appelé fonction [...] ou application » qui n'induit pas de différence entre les deux dénominations.

On va en rester là, mais c'est un vrai dialogue de sourds :
Je dis qu'il n'y a pas de différence, tu me rétorque "Ben si, on fait la différence" (en parlant d'autre chose), pour conclure qu'il n'y a pas de différence (en reparlant du point dont je parlais).

[invite57a1e779]

comme une fonction n'est pas forcément une application

Il me semblait que tu faisais une différence...

[Médiat]

Il me semblait que tu faisais une différence...

Tu le fais exprès je suppose : Oui je fais une différence entre le langage courant ()de l'enseignement des mathématiques) qui fait une différence, mais pas celles citées par Weierstrass (et qui sont la raison de mon intervention), et la théorie axiomatique des ensembles où, comme je l'ai déjà écrit, il n'y a aucune raison mathématique de faire la moindre différence (grace au schéma d'axiomes de séparation) !

[invite4a9059ea]

Trés bien , désolé d'insister ! , mais je vais écrire deux phrases , merci de m'indiquer si elles vous paraissent exactes ou fausses ?

* tout élément de l'ensemble de départ d'une application possède forcément une image dans l'ensemble d'arrivée .

* Une fonction est un objet mathématique où l'on peut trouver un élément de l'ensemble de départ qui ne possède pas par la fonction un élément dans l'ensemble d'arrivé .


Merci
Cordialement

[invite57a1e779]

Pour moi,

* tout élément de l'ensemble de départ d'une application possède forcément une image dans l'ensemble d'arrivée .

Vrai

* Une fonction est un objet mathématique où l'on peut trouver un élément de l'ensemble de départ qui ne possède pas par la fonction un élément dans l'ensemble d'arrivé .

Faux

[invite4a9059ea]

pourquoi la 2è phrase est elle fausse ?

cdt

[invite57a1e779]

Parce que "fonction= application" : tout élément de l'ensemble de départ admet une image dans l'ensemble d'arrivée.

[invite4a9059ea]

trés bien merci God's Breath