Petite question ... PI

[invitea250c65c]

Bonjour a tous,

Je prefere commencer par préciser que je n'ai que 15 ans et que je ne suis qu'en 2nde generale.
J'apprécie les maths et j'ai une question qui me trotte dans la tête depuis plus de 3 ans:

Comment Archimede a-t-il determiner le nombre Pi?
Parce qu'utiliser 3.14 ... en maths c'est sympas mais je me suis posé la question et je me la pose toujours ... je sais que Pi ne correspond pas a un cos, sin ou tan, ni a une racine, un carré, une puissance, une fraction ...

Pouvez vous un peu plus m'éclairer sur ce mysterieux qui nous rend bien service.

Merci d'avance!
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[invite2c6a0bae]

qu'en 2 nde, mais c'est deja pas mal lol, il ne fauiut pas etre modeste

je crois (mais je ne suis aps historien des sciences) qu'en prenant le perimetre d'un cercle quelconque, et en mesurant son rayon(ou diametre), on peux determiner Pi

[GuYem]

Bonjour.

Je ne sais pas si c'est Archimède qui a determiné Pi. Il y a plusieurs définitions possibles de ce nombre, la plus simple étant la demi-circonférence d'une cercle de rayon 1.

Dans les années 1700 me semble-t-il un asrtonome du nom de John Machin (et oui) a prouvé une formule du genre

(pas sur de la formule)
Cela lui a permis de passer le reste de sa vie à s'amsuer à calculer des décimales de Pi, malheureusement il s'est planté vers la 20ème et tout le reste de ses calculs étaient faux du coup :P

[invite533cb48e]

Bonjour

En faite la definition originele de pi, est la raport du perimetre d'un cercle sur son diametre (d'ou la formule Perimetre du cercle=2*pi*Rayon).

Pour archimede, en faite il a obtenu de bonne aproximations en prenant un cercle et en consruisant des polygones (regulier convexe ) a l'interieur et a l'exterieur du cercle, et comme cela il obtien un encadrement de pi, (puissque il sait calculer le erimetre des polygones...il a d'ailleur developé une suite qui perme de considerere vite des polynomes a un grand nombre de coté)

En espairant avoir pu un peu t'aidé

bonne soiré

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

Bonsoir,

Regarde le lien suivant par exemple

http://www.peripheria.net/calcul/archi.php

EDIT: Croisement avec Antoine, c'est la même information...

[g_h]

Bonjour a tous,

Je prefere commencer par préciser que je n'ai que 15 ans et que je ne suis qu'en 2nde generale.
J'apprécie les maths et j'ai une question qui me trotte dans la tête depuis plus de 3 ans:

Comment Archimede a-t-il determiner le nombre Pi?
Parce qu'utiliser 3.14 ... en maths c'est sympas mais je me suis posé la question et je me la pose toujours ... je sais que Pi ne correspond pas a un cos, sin ou tan, ni a une racine, un carré, une puissance, une fraction ...

Pouvez vous un peu plus m'éclairer sur ce mysterieux qui nous rend bien service.

Merci d'avance!

Salut,

Il me semble qu'à l'époque ils tentaient d'encadrer un cercle avec des polygône avec "beaucoup" de côtés
En faisant le rapport du périmètre obtenu sur le diametre, ils pouvaient approcher , d'autant plus que le nombre de côtés du polygône est grand.

Aujourd'hui on peut l'exprimer avec des fonctions usuelles :
(ou sur ta calculette)

Et tu as plein de formules du genre :


apparaît aussi beaucoup en probabilités (par exemple si tu connais l'expérience des aiguilles de Buffon)

Tout ça, Archimède ne le connaissait pas, donc il faisait avec les moyens du bord

[invitea250c65c]

C'est bien comme ca que je pensais qu'Archimede avait fait mais il a donc du trouver un nombre assez approximatif parce qu'un diametre de 1 cm ou de 1.001 cm ne represente pas beaucoup de difference a l'oeil nu mais que pour un nombre ayant l'infini de nombres apres la virgule cela represente une marge d'erreur non négligeable mais bon c'est sur que pour les moyens de l'epoque c'est excellent.
Et g_h pour les formule que tu m'as donné sont-elles exactes ou approximatives?
Comment a-t-on defini un nombre Pi bien reel?
Il doit exister une formule qui peut s'expliquer?
Par exemple pourquoi Arcos(-1)=Pi (excusez moi je ne sais pas comment ecrire la lettre Pi sur mon clavier, ce qui me fait une question de pus: comment ecrit-on Pi sur le clavier?).

En tout cas merci de tuotes vos reponses vous m'avez beaucoup éclairé sur le sujet.

[g_h]

Oui, les formules que je t'ai données sont exactes. Par contre, la formule avec la somme converge TRES lentement.

Pourquoi ?
Tout simplement parce que , et que Arccos est la fonction réciproque de cos !
( pour tout x)

[invite33bf3f30]

Cela dit, arccos(-1) = Pi + 2k*Pi, k € Z, pour etre tout a fait exact


--> je sors

[g_h]

Non, Arccos(-1) = Pi, et c'est tout !
Par contre, les antécédents de -1 par cos sont...

[GuYem]

( pour tout x)

On peut chipoter un peu.. pour tout x dans [-1,1] oui.

[invitea250c65c]

D'accord c'est bien compris et comment faire pour ecrire Pi avec la lettre greque et aussi d'autres lettre greques svp tant que j'y suis?

[invite2ec8adb6]

qu'en 2 nde, mais c'est deja pas mal lol, il ne fauiut pas etre modeste

je crois (mais je ne suis aps historien des sciences) qu'en prenant le perimetre d'un cercle quelconque, et en mesurant son rayon(ou diametre), on peux determiner Pi

ça se voit que tu est physicien(sans vouloir te vexer)
on ne détermine pas une constante mathématique en la mesurant
ça va à l'encontre de tous les principes mathématiques, qui excluent l'intuition et l'experience
Archimède a tout simplement considéré un hexagone inscrit et un hexagone circonscrit au cercle et a doublé le nombre de coté un certain nombre de fois, ce qui lui donnait deux suites adjacentes convergeant vers le rapport (circonférence/diamètre)=Pi
c'est tres bien raconté dans

"Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages.
Glorieux Archimède, artiste ingénieux !
Toi, de qui Syracuse, aime encore la gloire,
Soit ton nom conservé par de savants grimoires.
Jadis, mystérieux, un problème existait.
Tout l'admirable procédé, l'oeuvre étonnante !
Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs:
Ô quadrature ! Vieux tourment du philosophe !
Sibylline rondeur, trop longtemps vous avez
défié Pythagore et ses imitateurs !
Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
Former un triangle auquel il équivaudra ?
Nouvelle invention : Archimède inscrira
Dedans un hexagone ; Appréciera son aire
Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra !
Dédoublera chaque élément antérieur ;
Toujours de l'orbe calculée approchera;
Définira limite ; enfin, l'arc, le limiteur
De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle !
Professeur, enseignez son problème avec zèle..."

les cultivés auront reconnu le poème dont la suite des nombres de lettres de chaque mot donne les premières décimales de Pi

[doryphore]

Les mathématiciens n'excluent pas l'expérience sans quoi, il n'y aurait plus de recherche en mathématique...
Si aucun mathématicien n'avait découvert que l'on obtient a peu près toujours le même nombre en divisant le périmètre d'un cercle par son diamètre, Archimède n'aurait jamais pensé à encadrer ce nombre par approximation.

[invite3d7be5ae]

(pas sur de la formule)

Tu as raison, la formule est fausse. La vraie est :

Mais maintenant, il y en a des meilleurs dans la famille arctan.

J'en connais une autre très simple
a=y
a=a*sin(a)
qui donne environ 2 fois plus de décimales à chaque nouvaux terme.
Mais il y a aussi de meilleures formules.

Je connais aussi la formule de François Viète :
2*2/sqrt(2)*2/(sqrt(2+sqrt(2))*2/sqrt(2+sqrt(2+sqrt(2)))....
(Pas sûr)

[invite2ec8adb6]

Les mathématiciens n'excluent pas l'expérience sans quoi, il n'y aurait plus de recherche en mathématique...
Si aucun mathématicien n'avait découvert que l'on obtient a peu près toujours le même nombre en divisant le périmètre d'un cercle par son diamètre, Archimède n'aurait jamais pensé à encadrer ce nombre par approximation.

je suis d'accord, les theoremes ne tombent pas du ciel, mais ce que je voulais dire c'est qu' il ne faut pas faire intervenir l'expérience dans la preuve et la détermination de constantes mathématiques
sinon, on se serait contenté de "il existe une constante Pi telle que pour tout cercle, circonférence/diametre=Pi"
démonstration: bah ça s'est toujours passé comme ça
calcul:bah on prend une règle, une ficelle et paf!
et on aurait jamais eu la précision à 1 241 000 000 000 décimales qu'on a aujourd'hui

[inviteaeeb6d8b]

Cela dit, arccos(-1) = Pi + 2k*Pi, k € Z, pour etre tout a fait exact


--> je sors

Tu as raison de sortir puisque c'est faux.