Courbes paramétrées et complexes

invitec9750284 · 16/01/2010, 19h40

Bonsoir,

J'aimerais résoudre cet exercice assez difficile mais je bloque :

Soit $\text{[math]}$ une courbe $\text{[math]}$ régulière. On note $\text{[math]}$ l'abscisse curviligne d'un point $\text{[math]}$ et c la courbure en ce point.

On pose $\text{[math]}$ le complexe d'affixe M(t).

Montrer : $\text{[math]}$

Je ne sais pas comment commencer, alors j'ai tenté de calculer $\text{[math]}$ .

Je commence par $\text{[math]}$

avec $\text{[math]}$ .

Il s'ensuit après calculs : $\text{[math]}$ .

C'est là que je bloque !

J'ai l'impression que ce n'est pas la bonne voie car trop compliquée et ne faisant pas intervenir la courbure c.
D'où ma question : Y-a-til un autre raisonnement pour démontrer le résultat ?

invite57a1e779 · 16/01/2010, 20h15

Envoyé par The Artist

$\text{[math]}$

Il s'agit tout simplement de l'expression sous forme complexe de la formule de Frenet : $\text{[math]}$ .

invitec9750284 · 16/01/2010, 21h20

Merci pour la piste, ça m'a permis de trouver la solution :

$\text{[math]}$ a pour affixe vecteur $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$ a pour affixe vecteur $\text{[math]}$ .

Or après dérivation en chaîne et simplification on trouve $\text{[math]}$ .

D'après la formule de Frenet on trouve bien $\text{[math]}$ .

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