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Calculer Un à partir de Un+1?



  1. #1
    Kiiiwi

    Calculer Un à partir de Un+1?


    ------

    Bonjour,

    J'étudie les suites et je n'arrive toujours pas a calculer Un à partir d'une suite Un+1 comme par exemple la suite:

    Un+1 = 4Un - 6 où U0 appartient à l'ensemble R.

    J'ai pensé que Un serait égale a 3Un - 5 en retirant 1 a chaque terme mais cela n'est pas la bonne solution je pense.

    Merci beaucoup!

    -----

  2. #2
    Guillaume69

    Re : Calculer Un à partir de Un+1?

    Bonjour,

    C'est une suite arithmético géométrique.

    Pour trouver Un en fonction de n, deux possibilités.
    1. Conjecturer une formule et la montrer ensuite par récurrence :
    Un = 4U(n-1) -6
    U(n-1) = 4U(n-2) - 6
    ...
    U(1) = 4U(0) - 6
    En applicant un coefficient 4 à chaque ligne et en additionnant toutes les lignes, on a une relation avec u(n) dans le membre de gauche, et une expression en fonction de n dans le membre de droite.

    2. Poser Vn = Un + h, avec h choisi tel que un est géométrique.
    ce qui te donne la relation suivante Vn - h = 4(V(n-1) - h) + 6 d'où Vn = 4V(n-1) -3h + 6
    Comme Vn est choisie géométrique, h = 2 et Vn = 4^nV(0)
    Reste à réinjecter Un dans cette relation, comme h est connu on trouve Un = 4^n(U(0) + 2 ) + 2

    .... Sauf erreur de calcul

  3. #3
    ericcc

    Re : Calculer Un à partir de Un+1?

    Il n'y a hélas pas de méthode infaillible pour calculer Un en fonction de n. Dans ton cas, c'est une suite connue et Guillaume t'a donné une méthode.
    Dans le cas des suites linéaires (Un+1=aUn+bUn-1+cUn-2+...) il y a aussi une méthode classique qui consiste à poser Un=rn
    Ce que l'on peut presque toujours faire c'est trouver la limite quand elle existe : il suffit de poser Un=Un+1=....=l et de résoudre l'équation correspondante.

    Par exemple si Un+1=(Un + a/Un)/2

    la limite est l tel que l=(l+a/l)/2, soit l²=a

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