Ensemble vide

[invite2b18a7fa]

Bonjour.

Je ne comprends pas pourquoi si E est l'ensemble vide et P un prédicat à une variable, on a :
- P(x) est vraie pour tout x appartenant à E,
- alors que "il existe x appartenant à E tel que P(x)" est fausse.

Merci d'avance
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[Flyingsquirrel]

Discussion déplacée dans le bon forum.

[Médiat]

Bonjour.

Je ne comprends pas pourquoi si E est l'ensemble vide et P un prédicat à une variable, on a :
- P(x) est vraie pour tout x appartenant à E,
- alors que "il existe x appartenant à E tel que P(x)" est fausse.

Si E est vide, est-ce qu'il existe dans E un élément qui vérifie P(x) ? Clairement non, puisque déjà le début de la phrase "est-ce qu'il existe dans E un élément" est déjà fausse.
Comme le contraire d'une phrase fausse est une phrase vraie, le contraire de "il existe x dans E qui vérifie P(x)" est "pour tous les élément de E nonP(x)" qui est donc une phrase vraie. Et comme ceci marche pour tous les prédicats, il suffit de l'appliquer à nonP, pour avoir le résultat attendu.

[invite2b18a7fa]

Tout d'abord désolé pour le post au mauvais endroit. J'ai hésité et... ben j'me suis planté.^^

Ensuite merci médiat pour votre réponse.
Si j'ai bien compris, la négation de "il existe x appartenant à E tel que nonP(x)" est "pour tout x appartenant à E, P(x)", ce qui explique ma première assertion. Je comprends mieux. C'est pas très intuitif, mais au final très logique !

Encore merci

[A voir en vidéo sur Futura]