exercice
BONJOUR à tous,
je me suis bloqué dans cet exercice :
soit
sigma(1/ n(n-1)(n+1))avec n>=2
je dois montrer que cette serie est convergente et je dois calculer sa somme
pour la convergence:
je dois la majorer par une série convergente mais j'ai pas trouvé!!
et pour calculer la somme j'ai appliqué la méthode de décomposition simple:
et je me suis ramené à :
1/n(n-1)(n+1)= -1/n+1/2*(1/n-1)+1/2*(1/n+1)
svp pouvez vous m'aider!
Si tu sais que la somme des inverses des cubes converge (ce qui se prouve par "simple" comparaison aux intégrales), il suffit de majorer par 1/(n-1)^3 (ou raisonner avec des équivalents, ce qui est plus agréable).
Après la décomposition en éléments simples, le mieux est de revenir aux sommes partielles et de considérer le développement limité des nombres harmoniques (la somme des inverses des entiers de 1 à n vaut ln n + c + o(1)). En l'écrivant et en simplifiant, tu devrais pouvoir trouver de quoi passer à la limite aisément
Re : exercice
merci bcp DYDO;
si je choisis la méthode de majoration:
n+1>n
n(n+1)>n²
n(n+1)(n-1)>n²(n-1)
1/n(n+1)(n-1) < 1/n²(n-1)
il faut que la série 1/n²(n-1) soit convergente
mais comment la démontrer , pour la série de 1/n² est une série de RIEMAN qui est convergente et 1/(n-1)???
j'ai voulu appliquer la méthode d'équivalence mais je sais comment trouver la série équivalente,sachant bien que le développement limité est un bon moyen pour cela ,mais comment ?
pouvez vous m'aider DYDO?
merci
Si tu veux continuer avec la majoration, tu peux voir que pour n>2 :
n²(n-1)>n² et donc
1/n(n+1)(n-1) < 1/n²
ce qui te permet de conclure.
Mais c'est compliqué, et si tu as un exo plus dur, tu ne t'en sortira pas avec cette méthode. Le mieux est d'utiliser les équivalents.
On dit quesi
Concrètement pour trouver ton équivalent, tu mets en facteur le "terme qui grandit le plus vite", et vu que tu as un polynome ici, il s'agit du "terme de plus haut degré".
Donc ici ton équivalent est n^3, qui bien le terme d'une série convergente (Rieman).
Pour le calcul de ta somme tu dois remarquer qu'elle est téléscopique : 1/n; 1/n-1 et 1/n+1 représentent la même somme, mais décalée. Ecris chacune des trois sommes sur une ligne différente, et tu verras que les termes s'annulent entre eux.
