Probleme Domaine de définition / dérivabilité.

[invitecb703b17]

Bonjour,

J'ai des soucis pour resoudre un probleme et en particulier la notion de domaine de definition et domaine de derivabilite ne sont pas trés clair et j'aurai aime un petit cours sur ca.

Mes connaissances en sont la : le domaine de definition c'est la ou la fonction est defini c'est a dire que par exemple 1/X ne peut etre defini sur {0} donc D(1/x)=R* , et pour le domaine de derivabilite on sait que (1/x)'=1/x² qui a aussi un souci avec 0 donc Df'(1/x)=R* mais lorsqu'il s'agit de fonction plus complexe en particulier les composé/produit/inverse/quotient/reciproque de fonctions usuels , j'ai des gros soucis.

Pour illustrer mon probleme voici un exercice que j'ai essaye de resoudre et ou j'ai faillit et ou je n'arrive pas a comprendre le corrige car il n'est pas détaillé:

Ex:

f(x)=Arcsin(2x/1+x²)
1) détermer l'ensemble de definition et l'ensemble de derivabilite de f puis calculer la dériver sur ce dernier ensemble.

Voila ce que je me suis dit:

f est composé de fonction uov tel que :
u(x)=2x/1+x² et v(x)=arcsin(x)
v est definit sur [-1;1] et derivable sur ]-1;1[.
u est definit et derivable sur R
Par definition : le compose de deux fonctions derivable la ou elle est definit (l'image reciproque par f de domaine de definition de g).
Je ne comprend rien a la phrase en parenthese.
et donc je seche pour savoir le df et le df'.


Le corrige de l'exercice :

Le domaine de definition de f est :
Df{x€R,-1<=2x/1+x²<=1}=R
f est derivable sur :
{x€R,-1<2x/1+x²<1}=R\{-1,1}
et pour tout x€R\{-1,1} f'(x)=2(1-x²)/(1+x²)|1-x²|

J'airai aimé de votre part mieux comprendre le corrige c'est a dire avec df de arcsin(x) restreint a {-1;1} pouquoi a t-on un df de la fonction f(x) de R.
J'aurai aussi aime avoir une sorte de methodologie pour determiner le domaine de definition/derivabilite de composee et autres operation de plusieurs fonctions usuel.

Merci d'avance
Jean
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[Jeanpaul]

Pour faire simple : souvent, quand la fonction est définie et continue, elle sera aussi dérivable.
Quelques exceptions quand même : la dérivée peut tendre vers l'infini alors que la fonction se porte très bien ; exemple : la racine carrée en zéro. On peut aussi avoir une forme pointue en un point : les dérivées à droite et à gauche ne sont pas égales, par exemple f(x) =|x|

Ta fonction arc sinus est un cas intéressant ; déjà tu vois qu'elle ne peut être définie que dans le domaine où 2x/(1+x²) est compris entre -1 et +1 car on ne sait pas calculer arcsin(2) sur les réels. C'est ça l'histoire du domaine réciproque : trouver x tel que l'image soit comprise entre -1 et +1
De plus, tu auras un problème quand 2x/(1+x²) vaudra 1 ou -1 : la fonction sera définie mais pas dérivable (la tangente est verticale)

[invitecb703b17]

Merci pour ta reponse Jean Paul.

Cependant j'aurai aimé savoir si il y a une méthodologie ou une procedure pour connaitre le domaine de defintion et le domaine de derivabilite d'une fonction qui est constitué d'un produit/composé ou quotien de fonctions c'est a dire si on a :

f=uov et qu'on connait Df de u, le Df' de u, le Df de v, le Df' de v y a t-il une regle qui nous dit par exemple que le Df(f)=Df(v)\Df(u) et pareil pour le domaine de derivabilite ?

Cordialement,

jean

[Jeanpaul]

La seule règle c'est de s'occuper des fonctions l'une après l'autre.
D'abord v(x) sera continue et dérivable sur un certain intervalle de valeurs de x.
De même, u(t) sera continue et dérivable sur un autre intervalle de valeurs de t.
Reste à faire la correspondance : voir l'intervalle de x qui permet de calculer/dériver u et fait en sorte que la valeur de v(x) soit à l'intérieur de l'intervalle où u est continue/dérivable.
Il peut très bien arriver que ça ne marche jamais. Exemple : Arcsin(2+x²).
Pourtant 2+x² est continue/dérivable partout. Arcsin est continue/dérivable mais seulement sur l'intervalle]-1;+1[ qui, malheureusement n'est jamais atteint.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecb703b17]

Merci jean paul,

Je me demandais si ton exemple impliquait que f(x)=arcsin(2+x²) n'était pas dérivable ou si encore plus important elle n'était pas définit/continu car 2+x²<1 émet une erreur.

En bref je voulais savoir si la conclusion sur f(x) était qu'elle n'existait pas ou si elle n'est pas continu ou si elle n'est pas dérivable.

Est ce que le tracé de f existe?

Jean

[Jeanpaul]

Telle qu'elle a été écrite, la fonction f(x) n'existe pas (= n'est pas définie), au moins sur le corps des réels, donc on ne peut faire le graphe.
Il existe des fonctions continues en tous points mais pas dérivables en certains points : exemple f(x) = |x|
Il existe aussi des fonctions continues en tous points sur un intervalle mais jamais dérivables. Problème : on ne peut les écrire avec des formules classiques, donc ça ne se rencontre pas au lycée.
Dans la pratique, on trouve surtout des fonctions non définies donc non continues, donc non dérivables.

[invitecb703b17]

ok merci maintenant je commence a un peu mieux comprendre cependant j'ai encore des choses pas trés clair d'un point de vue vocabulaire.

Une fonction dérivable sur un intervalle est obligatoirement continue sur cet intervalle?
Une fonction continue sur un intervalle n'est pas forcement derivable?

Et aussi je me posais la question sur le terme même de definition pour une fonction et de continuité.
Pour moi une fonction en un intervalle existe/est définit si elle est continue , pour moi "definition" et "continuite" c'est la meme chose , ai je raison?


jean

[thepasboss]

Non pas du tout ^^

Attention il existe des fonctions qui sont bels et bien définit sur R tout entier, mais qui n'y sont continue nulle part.

Par exemple celle qui a x rationnel associe 1, et 0 à x irrationnel

[Jeanpaul]

Une fonction dérivable est forcément continue mais on peut trouver des fonctions continues non dérivables.
Une fonction peut très bien être définie en tous points et jamais continue.
Exemple : f(x) = x si x est rationnel et f(x) = - x si x est irrationnel.
Cette fonction est partout définie, jamais continue et jamais dérivable. Fais un dessin, tu verras.
C'est la même idée que thepasboss