Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

invite0c5534f5 · 05/02/2009, 18h18

Salut,

J'ai toujours eu du mal à justifier les domaines de dérivabilités de composées de fonctions (puisque le reste c'est très simple: une somme de fonction dérivables est dérivable sur tout intervalle ou elle est définit idem pour produit)

Je sais que si f dérivable sur I et g dérivable sur J avec f(I) inclut dans J alors gof dérivable sur I

Prenons maintenant $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ est dérivable sur $\text{[math]}$ comme somme de fonctions dérivables sur $\text{[math]}$
ln(x) est dérivable sur $\text{[math]}$
mais $\text{[math]}$ (d'ailleur comment on peut le démontrer ça ?) mais $\text{[math]}$ n'est pas inclut dans $\text{[math]}$

Donc comment faire ?

Merci.

inviteec9de84d · 05/02/2009, 19h39

Salut,

Envoyé par neokiller007

mais $\text{[math]}$ (d'ailleur comment on peut le démontrer ça ?)

Je te conseille de perdre tout de suite cette vilaine écriture, qui n'a aucun sens !

Sinon pour ton domaine de définition, pose toi plutôt la question (ici) :
$\text{[math]}$ étant définie pour tout $\text{[math]}$ ,
quand est-ce que $\text{[math]}$ ?

invite0c5534f5 · 05/02/2009, 20h11

Envoyé par lapin savant

Je te conseille de perdre tout de suite cette vilaine écriture, qui n'a aucun sens !

C'est pas comme ça que l'on note l'ensemble des images des éléments de R par u ?

Envoyé par lapin savant

Sinon pour ton domaine de définition, pose toi plutôt la question (ici) :
$\text{[math]}$ étant définie pour tout $\text{[math]}$ ,
quand est-ce que $\text{[math]}$ ?

Je le connais l'ensemble de définition, ce que je veux c'est l'ensemble de dérivabilité.

invite6985b48f · 05/02/2009, 20h21

Pour que ta fonction soit dérivable, il faut et il suffit que :
e^x-e^-x soit dérivable : là pas de problème, c'est R
e^x-e^-x appartienne à l'ensemble de dérivation de ln(x) c'est à dire R+*

Il faut donc trouver les x pour que e^x-e^-x>0

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite0c5534f5 · 05/02/2009, 21h10

Envoyé par zorro63

Pour que ta fonction soit dérivable, il faut et il suffit que :
e^x-e^-x soit dérivable : là pas de problème, c'est R
e^x-e^-x appartienne à l'ensemble de dérivation de ln(x) c'est à dire R+*

Ca vient d'où ça ?
Parce que c'est pas ce que mon théorème me dit.

inviteec9de84d · 05/02/2009, 21h12

Envoyé par neokiller007

C'est pas comme ça que l'on note l'ensemble des images des éléments de R par u ?

Mouais. Tu peux effectivement donner l'ensemble d'arrivée de l'intervalle I , que l'on notera J, par $\text{[math]}$ .
(Perso jsuis pas fan...).
Quant à la démo, ben c'est simple, il suffit de montrer que
$\text{[math]}$
dans ton cas $\text{[math]}$ .

inviteec9de84d · 05/02/2009, 21h15

Envoyé par neokiller007

Ca vient d'où ça ?
Parce que c'est pas ce que mon théorème me dit.

ça vient de ce que l'on ne dérive pas une fonction là où elle n'est pas dérivable (en l'occurrence le log, parce qu'il n'y a pas de problèmes avec les exp).

inviteec9de84d · 05/02/2009, 21h20

Envoyé par neokiller007

Je sais que si f dérivable sur I et g dérivable sur J avec f(I) inclut dans J alors gof dérivable sur I

Commence par apprendre correctement tes théorèmes :
Si f dérivable sur I et g dérivable sur J avec f(I) inclut dans J alors gof dérivable sur J.

Autrement la dérivée de g n'est pas (forcément, càd sauf I=J) définie sur I....par définition.

invite0c5534f5 · 05/02/2009, 21h49

Envoyé par lapin savant

ça vient de ce que l'on ne dérive pas une fonction là où elle n'est pas dérivable (en l'occurrence le log, parce qu'il n'y a pas de problèmes avec les exp).

Donc de la formule (uov)=v'u'ov ?

Du coup le théorème que j'ai cité il sert à rien ?

Et c'est normal que Df ' soit différent du domaine de définition de la fonction dérivée ?

Edit:

Envoyé par lapin savant

Commence par apprendre correctement tes théorèmes :
Si f dérivable sur I et g dérivable sur J avec f(I) inclut dans J alors gof dérivable sur J.

Autrement la dérivée de g n'est pas (forcément, càd sauf I=J) définie sur I....par définition.

Ok, mais de toute façon le théorème n'est toujours pas applicable puisqu'ici f(I) n'est pas inclut dans J

invite0c5534f5 · 05/02/2009, 21h56

(je viens de vérifier et dans mon cours c'est bien écrit gof dérivable sur I)

inviteec9de84d · 05/02/2009, 21h58

Envoyé par neokiller007

(je viens de vérifier et dans mon cours c'est bien écrit gof dérivable sur I)

oui mais I est le domaine de dérivabilité de g dans ton cours. Sinon ça marche pas.

inviteec9de84d · 05/02/2009, 21h59

Envoyé par neokiller007

Ok, mais de toute façon le théorème n'est toujours pas applicable puisqu'ici f(I) n'est pas inclut dans J

Il suffit de restreindre f(I) (ici, R) à J (ici ]0,+inf[)........

**Flyingsquirrel** · 05/02/2009, 22h04

Envoyé par lapin savant

Commence par apprendre correctement tes théorèmes :
Si f dérivable sur I et g dérivable sur J avec f(I) inclut dans J alors gof dérivable sur J.

$\text{[math]}$ est une fonction définie sur $\text{[math]}$ ... pas sur $\text{[math]}$ . Le théorème cité par neokiller007 est correct

inviteec9de84d · 05/02/2009, 22h15

Envoyé par Flyingsquirrel

$\text{[math]}$ est une fonction définie sur $\text{[math]}$ ... pas sur $\text{[math]}$ . Le théorème cité par neokiller007 est correct

En effet j'ai tout mélangé : si g définie sur J et f (définie sur I) nous envoie sur f(I) inclut dans J. gof est définie sur I.
Mea culpa neokiller007

Mais dans son cas, f envoie dans un intervalle plus grand que J : il faut alors le restreindre à J.

invite0c5534f5 · 05/02/2009, 22h22

Ok, il faut restreindre.
Donc reste plus qu'une question: est-ce normal que Df ' soit différent du domaine de définition de la fonction dérivée ?

inviteec9de84d · 05/02/2009, 22h30

Non : le domaine de dérivabilité de f est par définition le domaine où sa dérivée est définie.

Avec tout ce qu'on a dit, tu sais que les exp sont dérivables sur R. Le log n'est dérivable que sur R+* donc tu dois trouver pour quels x les exp atterrissent dans ]0,+inf[.

invite0c5534f5 · 05/02/2009, 22h45

Oui j'ai compris restreindre R à ]0; +inf[ c'est pas trop difficile puisque c'est ]0; +inf[

Mais $\text{[math]}$ et ça son domaine de définition c'est R*

inviteec9de84d · 05/02/2009, 22h48

Je comprend ton soucis. Pour cela un exemple simple :
lnx est dérivable sur ]0,+inf[ ok ?
Pourtant, sa dérivée 1/x est définie sur R-{0}....c'est parce que comme lnx est définie pour x>0, cela n'a pas de sens de dériver pour x<=0 (puisque la fonction n'y existe pas).

Est-ce clair maintenant ?

invite0c5534f5 · 05/02/2009, 23h02

Oui donc c'est bien normal que Df ' soit différent du domaine de définition de la fonction dérivée

inviteec9de84d · 05/02/2009, 23h17

Envoyé par neokiller007

Oui donc c'est bien normal que Df ' soit différent du domaine de définition de la fonction dérivée

On dira ça

Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

Discussions similaires

Définir le domaine de dérivabilité

Domaine de dérivabilité

Dérivabilité

Famille De Fonctions - Domaine de Dérivabilité

Domaine de définition et dérivabilité