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Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)



  1. #1
    neokiller007

    Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)


    ------

    Salut,

    J'ai toujours eu du mal à justifier les domaines de dérivabilités de composées de fonctions (puisque le reste c'est très simple: une somme de fonction dérivables est dérivable sur tout intervalle ou elle est définit idem pour produit)

    Je sais que si f dérivable sur I et g dérivable sur J avec f(I) inclut dans J alors gof dérivable sur I

    Prenons maintenant
    est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur
    ln(x) est dérivable sur
    mais (d'ailleur comment on peut le démontrer ça ?) mais n'est pas inclut dans

    Donc comment faire ?

    Merci.

    -----

  2. #2
    lapin savant

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Salut,
    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    mais (d'ailleur comment on peut le démontrer ça ?)
    Je te conseille de perdre tout de suite cette vilaine écriture, qui n'a aucun sens !

    Sinon pour ton domaine de définition, pose toi plutôt la question (ici) :
    étant définie pour tout ,
    quand est-ce que ?
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  3. #3
    neokiller007

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par lapin savant Voir le message
    Je te conseille de perdre tout de suite cette vilaine écriture, qui n'a aucun sens !
    C'est pas comme ça que l'on note l'ensemble des images des éléments de R par u ?

    Citation Envoyé par lapin savant Voir le message
    Sinon pour ton domaine de définition, pose toi plutôt la question (ici) :
    étant définie pour tout ,
    quand est-ce que ?
    Je le connais l'ensemble de définition, ce que je veux c'est l'ensemble de dérivabilité.

  4. #4
    zorro63

    Thumbs up Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Pour que ta fonction soit dérivable, il faut et il suffit que :
    e^x-e^-x soit dérivable : là pas de problème, c'est R
    e^x-e^-x appartienne à l'ensemble de dérivation de ln(x) c'est à dire R+*

    Il faut donc trouver les x pour que e^x-e^-x>0

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    neokiller007

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par zorro63 Voir le message
    Pour que ta fonction soit dérivable, il faut et il suffit que :
    e^x-e^-x soit dérivable : là pas de problème, c'est R
    e^x-e^-x appartienne à l'ensemble de dérivation de ln(x) c'est à dire R+*
    Ca vient d'où ça ?
    Parce que c'est pas ce que mon théorème me dit.

  7. #6
    lapin savant

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    C'est pas comme ça que l'on note l'ensemble des images des éléments de R par u ?
    Mouais. Tu peux effectivement donner l'ensemble d'arrivée de l'intervalle I , que l'on notera J, par .
    (Perso jsuis pas fan...).
    Quant à la démo, ben c'est simple, il suffit de montrer que

    dans ton cas .
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  8. #7
    lapin savant

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Ca vient d'où ça ?
    Parce que c'est pas ce que mon théorème me dit.
    ça vient de ce que l'on ne dérive pas une fonction là où elle n'est pas dérivable (en l'occurrence le log, parce qu'il n'y a pas de problèmes avec les exp).
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  9. #8
    lapin savant

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Je sais que si f dérivable sur I et g dérivable sur J avec f(I) inclut dans J alors gof dérivable sur I
    Commence par apprendre correctement tes théorèmes :
    Si f dérivable sur I et g dérivable sur J avec f(I) inclut dans J alors gof dérivable sur J.

    Autrement la dérivée de g n'est pas (forcément, càd sauf I=J) définie sur I....par définition.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  10. #9
    neokiller007

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par lapin savant Voir le message
    ça vient de ce que l'on ne dérive pas une fonction là où elle n'est pas dérivable (en l'occurrence le log, parce qu'il n'y a pas de problèmes avec les exp).
    Donc de la formule (uov)=v'u'ov ?

    Du coup le théorème que j'ai cité il sert à rien ?

    Et c'est normal que Df ' soit différent du domaine de définition de la fonction dérivée ?

    Edit:
    Citation Envoyé par lapin savant Voir le message
    Commence par apprendre correctement tes théorèmes :
    Si f dérivable sur I et g dérivable sur J avec f(I) inclut dans J alors gof dérivable sur J.

    Autrement la dérivée de g n'est pas (forcément, càd sauf I=J) définie sur I....par définition.
    Ok, mais de toute façon le théorème n'est toujours pas applicable puisqu'ici f(I) n'est pas inclut dans J
    Dernière modification par neokiller007 ; 05/02/2009 à 20h53.

  11. #10
    neokiller007

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    (je viens de vérifier et dans mon cours c'est bien écrit gof dérivable sur I)

  12. #11
    lapin savant

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    (je viens de vérifier et dans mon cours c'est bien écrit gof dérivable sur I)
    oui mais I est le domaine de dérivabilité de g dans ton cours. Sinon ça marche pas.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  13. #12
    lapin savant

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Ok, mais de toute façon le théorème n'est toujours pas applicable puisqu'ici f(I) n'est pas inclut dans J
    Il suffit de restreindre f(I) (ici, R) à J (ici ]0,+inf[)........
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  14. #13
    Flyingsquirrel

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par lapin savant Voir le message
    Commence par apprendre correctement tes théorèmes :
    Si f dérivable sur I et g dérivable sur J avec f(I) inclut dans J alors gof dérivable sur J.
    est une fonction définie sur ... pas sur . Le théorème cité par neokiller007 est correct

  15. #14
    lapin savant

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    est une fonction définie sur ... pas sur . Le théorème cité par neokiller007 est correct
    En effet j'ai tout mélangé : si g définie sur J et f (définie sur I) nous envoie sur f(I) inclut dans J. gof est définie sur I.
    Mea culpa neokiller007

    Mais dans son cas, f envoie dans un intervalle plus grand que J : il faut alors le restreindre à J.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  16. #15
    neokiller007

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Ok, il faut restreindre.
    Donc reste plus qu'une question: est-ce normal que Df ' soit différent du domaine de définition de la fonction dérivée ?

  17. #16
    lapin savant

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Non : le domaine de dérivabilité de f est par définition le domaine où sa dérivée est définie.

    Avec tout ce qu'on a dit, tu sais que les exp sont dérivables sur R. Le log n'est dérivable que sur R+* donc tu dois trouver pour quels x les exp atterrissent dans ]0,+inf[.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  18. #17
    neokiller007

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Oui j'ai compris restreindre R à ]0; +inf[ c'est pas trop difficile puisque c'est ]0; +inf[

    Mais et ça son domaine de définition c'est R*
    Dernière modification par neokiller007 ; 05/02/2009 à 21h48.

  19. #18
    lapin savant

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Je comprend ton soucis. Pour cela un exemple simple :
    lnx est dérivable sur ]0,+inf[ ok ?
    Pourtant, sa dérivée 1/x est définie sur R-{0}....c'est parce que comme lnx est définie pour x>0, cela n'a pas de sens de dériver pour x<=0 (puisque la fonction n'y existe pas).

    Est-ce clair maintenant ?
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  20. #19
    neokiller007

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Oui donc c'est bien normal que Df ' soit différent du domaine de définition de la fonction dérivée

  21. #20
    lapin savant

    Re : Domaine de dérivabilité de ln(e^x-e^-x)

    Citation Envoyé par neokiller007 Voir le message
    Oui donc c'est bien normal que Df ' soit différent du domaine de définition de la fonction dérivée
    On dira ça
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

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