TIPE farfelu

[invitec1d9f238]

bonjour!
Je suis en mpsi et j'aurais aimé faire un tipe en maths et voilà l'idée de sujet que j'ai trouvé:
dans une figure plane(un disque ou un carré surtout pour simplifier) on cherche la courbe (sans discontinuité)qui a longueur fixée qui passe le plus près en moyenne de tous les points de cette figure.
J'en ai parlé à mon prof de maths et il m'a dit qu'il fallait que je trouve des documents qui parlent de ça.
alors j'ai essayé sur google de taper "courbe qui passe le plus près..."mais ca n'a évidemment rien donné.
Alors si quelqu'un peut m'aider à trouver des documents là dessus, je le remercie d'avance ...(ca doit bien exister des documents là dessus)
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[invite1237a629]

Salut,

Si tu veux que la courbe qui passe le plus près soit une droite, tu peux jeter un coup d'oeil sur "(droite de) régression linéaire".
Le terme général est peut-être régression.

Bonne chance ^^

[inviteaf1870ed]

On peut faire des régressions polynomiales (Polynomes de Lagrange, Courbes de Bézier) ou même exponentielle. Excel fait ça très bien.
Regarde ici par exemple : http://fr.wikipedia.org/wiki/Courbe_de_B%C3%A9zier

[invite4ef352d8]

Salut !
J'ai réfléchie quelques instants, et je pense que le problème est essentiellement "pas vraiment intéressant" de la facon dont il est pausé :

en effet, considère n point (x1,...xn) dans le plan, et suppose que tu as C une courbe qui réalisé ce minimum.

tu considère les n points (y1,...yn) de laa courbe C qui réalise les minimum de distances entre les points xi et la courbe.
on peut supposer (quitte à renuméroter les points) que les point Yi sont rangé dans l'ordre donné par le paramétrage de la courbe, si je considère alors C' la ligne brisé reliant les points yi, (C') est plus courte que C et réalise la même distance que C aux point xi,

de deux choses l'une, ou bien C=C', on bien C' est strictement plus courte que C dans le deuxième cas, je peut déplacer légèrement un des points yi pour le rapprocher du point xi correspondant tous en faisant en sorte que la courbe C' soit toujours plus courte que la courbe C, et donc C n'etais pas le minimum de distance moyenne aux points xi (on peut toujours ralonger arbitrairement C' pour qu'elle est la longeur voulue)... c'est contradictoire

Bref, la solution à ton problème est toujours une ligne brisé ayant autant de sommet que le nombres de points choisit au départ. il s'agit donc de regarder les fonctions à 2n variables (donné par les coordoné des yi) donnant d'une part la distances moyennes aux points xi et la longeur de la courbe et de chercher les minimums d'une de ses fonctions quand la valeur de l'autres est astreintes (ce qui à priori est un 'simple calcule' de dérivé, qui va juste être horriblement compliqué à cause du grand nombres de variables...)

bon peut-etre qu'on peut donner la réponse de facon général (dans quel cas il y aurait quand même plus de choses à dire que ce que je viens de faire ici) mais d'une part ca va être à toi de faire le calcule, et ca va pas être simple, et d'autre part je ne sais pas si tu trouve toujours le problème interessant sachant que la solution est toujours une ligne brisé ayant n sommet.



Ceci il y à des exemples assez proches (trouvé la courbe qui minimise ceci ou cela) qui eux donnent de très joli et très interessant résultat : tu devrai peut-etre te renseigner sur "l'equation différentielle d'Euler Lagrange" (wikipédia pour commencer) qui sert à résoudre tous les problèmes de ce type à chaque fois que la solution est intéressante (ie une vrai courbe régulière est essentiellement unique).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

Oh mais attend, je viens de me rendre compte que ta figure de départ avait pas forcement un nombre fini de points...

donc si j'ai bien compris tu cherche par exemple à obtenir un petit cercle au milieu du grand cercle

ou une petite courbe fermé à déterminer aux milieux du carré, c'est ca ?

et bien dans ce cas on est exactement dans la situation ou la courbe que tu cherche va être une solution de "l'equation différentielle d'Euler lagrange"

et je pense que effectivement cet equation et certaine de ses applications font un bon sujet de Tipe (d'ailleur la preuve est accesible avec le programe de prépa, quoique pour une preuve rigoureuse il faudrat attendre de savoir ce que c'est que la différentielle d'une application sur un espace de Banach, ie d'être en spé... )

[inviteaf1870ed]

Mais je maintiens que les courbes de Bézier, les splines etc...sont un sujet également intéressant car ils sont à la base de ce qu'utilise l'informatique graphique aujourd'hui.

[invitec1d9f238]

en fait pour définir la distance moyenne d'un point de la figure à cette courbe j'ai deux possibilités:
-prendre comme repère un quadrillage, et n'avoir qu'un nombre fini de points(et là c'est peut-être très simple)
-trouver une fonction qui a un point de la figure associe sa distance à la courbe (ce qui est donc le minimum des distances de chaques points de cette courbe à ce point) puis faire l'integrale sur l'ensemble des points de cette figure de cette fonction,et enfin divisé par l'aire de la figure pour avoir la moyenne (enfin ca c'est presque inutile vu qu'on cherche que la courbe qui minimiserai la moyenne donc évidemment l'integrale de cette fonction)
J'imagine bien que la réponse serait une courbe qui n'est pas continue et qui a plein de points répartis un peu de partout dans la figure de sorte à ce que la distance d'un point à cette courbe soit nulle, mais c'est pour ca que j'ai mis l'hypothèse que la courbe est continue.
Puis aussi je m'imagine bien qu'il puisse ne pas y avoir de solution mais au pire ca n'est pas grave...et même tant mieux

[invite986312212]

ou une petite courbe fermé à déterminer aux milieux du carré, c'est ca ?

bah moi ça ne me semble pas évident que la solution va être une courbe fermée.

[invitec1d9f238]

Bon donc si je fais des recherches sur l'équation différentielle d'euler lagrange j(ai des chances de trouver mon bonheur?