Produit scalaire et base orthonormée

[inviteeef69825]

Bonjour,

J'ai le dans un manuel qu'en raisonnant dans un espace euclidien, il était préférable de se ramener à une base orthonormée, ce qui se conçoit très bien puisqu'on a la relation <x,y> = x1.y1 + ... + xn.yn .

Seulement, juste en dessous il y a écrit : "tout le problème est de choisir le bon produit scalaire". Je ne comprends pas cette phrase. Le livre ne voulait-il pas dire : "la bonne base" puisque la relation ci-dessus est toujours vraie ?

D'où les questions :
A base orthonormale fixée, peut-on parler d'unicité du produit scalaire ?
Dire vrai ou faux, si possible en justifiant :
1) A chaque produit scalaire on peut associer des BON différentes (cela change-t-il la valeur du produit scalaire ?)
2) A chaque BON on peut associer des produits scalaires différents (cela change-t-il la valeur du produit scalaire ?)

Comme vous pouvez le voir, je n'ai à peu près rien capté ^^
Merci de vos réponses !
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[invite3240c37d]

"choisir le bon produit scalaire" ou "choisir la bonne base" , je te laisse voir d'après les réponses aux questions :
1) Dans l'e.v on définit le produit scalaire
Montre que et sont des bases orthonormales . Qu'en déduis tu ?
2) Soit une base. Puisqu'elle est orthonormale on doit avoir , et .
Puisqu'elle est une base, tout vecteur s'écrit de façon unique . Je te laisse déterminer . Qu'en déduis tu ?

[inviteeef69825]

5 minutes après l'avoir posée, je me suis aperçue que ma question était idiote ^^
les coordonnées xi de X dépendent ET du produit scalaire choisi ET de la base choisie puisque xi = <X,ei>. Fixer une base ne fixe donc pas les coordonnées, c'est cela que je ne comprenais pas. Même si la formule donnant le produit scalaire de deux vecteurs entre eux est effectivement la même dans toute base orthonormée, sa valeur change si on change le produit scalaire ou si on change la base.

réponses, donc :
1) Question idiote, il suffit d'appliquer gram schmidt à n'importe quelle série de (dimE) vecteur en famille libre, et oui, la valeur du PS est changée.
2) On peut définir plusieurs produits scalaires, libre à chacun d'mployer son imagination... changer de produit scalaire change donc la valeur du produit scalaire (quelle phrase pertinente).

Moralité : ne jamais faire de maths après minuit...