Equation fonctionelle - distribution exponentielle

[invitec9bb2b0f]

Bonjour,
je suis physicien en stage de recherche et j'ai un petit problème normalement simple mais qui me bloque !
J'ai donc besoin de la lumière de mathématiciens.
Je dois vérifier que la fonction

est bien solution de l'équation suivante : où le delta est un delta de Dirac.
Merci d'avance pour toute aide.

Bonne journée.
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[KerLannais]

Salut,

Je ne sais pas si mes calculs sont corrects (ils sont formels mais il me semble que c'est une pratique en physique) mais moi je trouve que ça ne marche pas, mais peut-être cela peut-il t'aider

Soit , en faisant le changement de variable on a




De plus, pour


Ainsi, si on passe en polaires ton intégrale de départ est égale à


On fait une intégration par partie

[KerLannais]

Re

oups, j'ai fait n'importe quoi dans mon passage en polaires
En fait cela donne

enfin peut-être que ça marche en fait il faudrait que je finisse le calcul

[KerLannais]

oups c'est toujours pas ça
désolé, je vais réfléchir plus avant de dire des bétises

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Si on note



Alors ton intégrale est égale à


c'est encore égale à



Je pose

en remplaçant dans le calcul précédent j'obtiens

si je dérive cette quantité par rapport à j'obtiens

Puisque il suffit de montrer que

(puisque deux primitives de qui convergent vers en sont égales)

Or on a

et en passant à la limite sous l'intégrale


Cette fois-ci je crois que c'est bon

[invitec9bb2b0f]

super, mais qu'est ce que tu as montré ici ?
que l'exp marche ?
ou qu'il n'y a que l'exp qui marche ?

[KerLannais]

J'ai montré que la fonction

était solution puisqu'elle vérifie l'égalité mais comme il n'y a aucune condition sur il est clair que toutes les fonctions de la forme
avec une constante
sont solutions. Il est pas clair que ce soient les seules solutions mais je vais essayer de regarder ça

[invitec9bb2b0f]

Merci pour ton aide.
Sujet clot !