Matrice orthogonale

[invite87ed8069]

Bonjour,
On a une matrice P :
1 1 1
1 0 -2
1 -1 1
Valeurs propres : 1 1/2 -1/2

tP P :
3 0 0
0 2 0
0 0 6


On nous demande de calculer la forme quadratique, ça c'est bon.
tX M X

M :
1/2 1/2 0
1/2 0 1/2
0 1/2 1/2

Puis de déterminer une matrice R, orthogonale de changement de base ?
La correction indique R =
1/racine(3) 1/racine(2) 1/racine(6)
1/racine(3) 0 -2/racine(6)
1/racine(3) -1/racine(2) 1/racine(6)

J'ai remarqué que finalement on divise chaque vecteur propre par le nombre à la racine qui occupe la matrice diagonale (du résultat de tP P) mais j'aimerais savoir pourquoi et comment on applique ça ?
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[invitea0db811c]

Bonjour,

On agit ainsi pour obtenir une base orthonormale pour le produit scalaire définit par la matrice orthogonale.

[invite87ed8069]

je suis d'accord, mais n'y a t'il pas une formule ? pourquoi la racine carré des valeurs propres ?

[sylvainc2]

Les colonnes de R sont des vecteurs propres de M, et doivent être unitaires car R est orthogonale. Donc il faut les diviser par leur norme, raccine(3) est la norme de (1,1,1) etc.

Le fait que tP P a ces normes au carré sur sa diagonale est normal car les colonnes de P sont les mêmes vecteurs propres que R mais pas unitaires.

[A voir en vidéo sur Futura]