Espaces Vectoriel exercices classiques

[invite2bc7eda7]

Bonsoir à tous,

j'aurai aimé savoir comment on montre (des pistes suffiront ) que ces familles sont libres/liées:

on pose et j'ai tracé la courbe représentative, mais je n'avance pas beaucoup plus, en dérivant c'est galère puisque la famille des ne nous indique rien... de plus les peuvent etre positif ou négatif... on veut montrer qu'ils sont tous nuls mais je ne vois pas trop comment...

et même question pour
,

ps : les sont des ensembles "{}" mais je n'arrive pas à l'écrire...

Merci d'avance,

Mystérieux1
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[thepasboss]

Bonsoir,

Pour le premier exercice, on peut par exemple constater qu'une fonction définie par une somme de n bi*|x-ai|, les bi étant tous non nuls est affine par morceaux et possède exactement n points où elle n'est pas dérivable. Par suite en considérant une famille de n |x-ai| on doit pouvoir montrer que si on suppose la famille est non libre, alors il existe une famille de deux éléments de F qui est lié. Et montrer que toute famille de 2 éléments de F est libre n'est pas très dur je pense

Pour le deuxième je n'y ai pas encore réfléchis.

[thepasboss]

Pour la deuxième question, essaye donc de voir si elle est liée...

[invite2bc7eda7]

Bonsoir,

Pour le premier exercice, on peut par exemple constater qu'une fonction définie par une somme de n bi*|x-ai|, les bi étant tous non nuls est affine par morceaux et possède exactement n points où elle n'est pas dérivable. Par suite en considérant une famille de n |x-ai| on doit pouvoir montrer que si on suppose la famille est non libre, alors il existe une famille de deux éléments de F qui est lié. Et montrer que toute famille de 2 éléments de F est libre n'est pas très dur je pense

Pour le deuxième je n'y ai pas encore réfléchis.

oui je comprends le début, affine par morceaux... mais après j'ai un peu plus de mal...quand on suppose la famille non libre, si on trouve une famille a deux éléments qui est liée on peut en déduire que F est liée?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hamb]

pour la premiere, tu prends une combinaison linéaire nulle, et alors si l'un des scalaires est non nul il y a un point de non dérivabilité qui donne une contradiction.
(la fonction nulle est dérivable partout)

pour la 2e tu peu montrer qu'elle est nulle dans R_4[X]

[thepasboss]

Donc en fait, si tu suppose qu'il existe une famille de n éléments (|x-ai|), n plus grand que 2 telle que cette famille soit liée, alors il existe un i et des réels (bj) tels que :



Et |x-ai| n'est pas dérivable en un seul point, donc il existe un et un seul indice tel que soit non nul.

Donc :

On a donc une famille de deux vecteurs liés. Il reste à montrer qu'il n'existe aucune famille de deux vecteurs qui soit liée, pour avoir la contradiction ^^ Et donc aucune famille de n vecteurs n'est liée, pour tout n. Ie F est libre.

(le cas n=1 est trivial)


Edit : la méthode de hamb est beaucoup mieux que la mienne, qui est inutilement tarabiscotée.

[invite2bc7eda7]

Ok merci beaucoup pour vos réponses,

et on n'a pas encore vu les polynomes, je ne comprends donc pas le R_4[X]...

[Hamb]

oui en plus c nimporte quoi mon histoire de polynomes.
bref je retire ce que jai dit, il faut que tu prouves dans le 2e cas que la famille est liée (en mettant en évidence une combinaison linéaire nulle par exemple)

[thepasboss]

Ou alors si tu as vu les bases, montrer que l'ensemble des polynômes de degré 2 est un espace vectoriel de dimension 3, ce qui est très rapide (peut être même beaucoup plus que d'exhiber une combinaison linéaire des quatre polynômes, qui nécessite un peu de calcul)