Tracé fonction gamma

[invite8d54258a]

Bonsoir, une petite question autour de la fonction Gamma. J'arrive à montrer que : donc asymptote verticale d'équation .
Puis j'arrive à montrer que : et donc la, je me demande s'il existe une quelconque "branche infinie" ?

Par ailleurs, je ne saisi pas du tout le tracé de wikipédia pour la fonction Gamma. La partie de droite, ie pour les x>0, j'arrive à comprendre. Mais pour les abscisses négatives

On a pas le théorème suivant : l'intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle est positive ?
Merci !
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[invite63e767fa]

Bonjour,

le prolongement de la fonction gamma pour les valeurs numériques de l'argument conduit à la relation suivante :
Gamma(-x) = -pi/( Gamma(x+1) sin(pi x) )
Le développement asymptotique correspondant à la branche infinie positive est généralement présenté sous la forme du logarithme de Gamma(x) :
ln(Gamma(x)) = x*ln(x) -x -(1/2)ln(x) +(1/2)ln(2pi) +1/(12x) -1/(360 x^3) +O(1/x^5)
On trouve ces formules dans la plupart des handbooks de fonctions spéciales.

[invite63e767fa]

Leonhardo :
On a pas le théorème suivant : l'intégrale d'une fonction continue positive sur un intervalle est positive ?

Non, dans le cas présent, ce théorème n'est pas approprié car la fonction n'est pas continue positive pour x<0.
La définition intégrale n'est pas viable pour x<0 car non convergente. Il faut considérer la définition plus générale, en termes de série hypergéométrique.

[invite8d54258a]

Bonjour JJacquelin. Pour ma part, je considère cette fonction de la variable réelle. Je ne parlerai donc pas de complexe ! Ainsi, la fonction est intégrable si et seulement si x>0, on compare à une intégrale de Riemann en zéro. Et donc, je pense qu'on a bien une fonction continue positive et que son intégrale est donc positive, strictement. On a bien la formule des compléments qui nous permet d'écrire :

Et il apparait un problème pour chaque . Donc je saisi bien par exemple que pour , on a et donc la fraction qui est du signe de celui du sinus est négative. Par contre, je ne saisi pas pourquoi il existe un maximum local. Est-ce par-ce que le sinus admet un minimum local sur ? Comment le justifier proprement ?


En ce qui concerne les branches infinies, deux questions :
que valent les limites suivantes , et existe-il des équivalents simples et


Enfin, la fonction est dite convexe, j'ai vu dans un livre. On interprète donc ce résultats en disant qu'elle est au dessus de ses tangentes. Première question : que dire de ce résultat pour le tracé de la fonction ? Deuxième question (et dernière !) : comment obtenir le tracé de la fonction à partir de celle de la fonction ?

Merci par avance !

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Le plus simple est ici d'utiliser la relation fonctionnelle de base qui permet de calculer de proche en proche dans les valeurs négatives, et de comprendre directement et facilement pourquoi les signes s'alternent.

[invite8d54258a]

Je préfère éviter la méthode du "proche en proche" et son raisonnement du type "etc" que je n'aime pas trop.

[invite63e767fa]

Pour ma part, je considère cette fonction de la variable réelle. Je ne parlerai donc pas de complexe !

Moi non plus, je ne parle pas de complexe. Il n'est pas question de complexe dans tout ce qui est écrit dans mon post précédent.

Ainsi, la fonction est intégrable si et seulement si x>0, on compare à une intégrale de Riemann en zéro. Et donc, je pense qu'on a bien une fonction continue positive et que son intégrale est donc positive, strictement

Si je comprends bien, tu te réfères à la définition de la fonction Gamma par une intégrale. Si non, tu ne parlerais pas d'intéger quoi que ce soit. (Dans cette question, il ne s'agit évidemment pas d'intéger la fonction Gamma elle même, ce qui est un autre problème hors sujet ici).
Cette définition par une intégrale n'est valable que pour les x>0 puisque l'intégrale servant de définition est divergente pour x<0 . En se référant uniquement à cette définition par intégrale, Gamma(x) n'est pas définie pour x<0, donc il est absurde d'en parler.
Dans ces conditions, oublie complètement cette histoire d'intégration et dis-nous à quelle définition de la fonction Gamma tu te réfères pour qu'elle soit définie sur les x<0 (excepté les entiers négatifs bien sûr)

[invite8d54258a]

Ma définition est celle qui utilise le fait que la fonction est intégrable pour les . Donc il est vrai qu'il est ici absurde de parler du cas des . D'ailleurs, oublions un instant ce cas pour justifier complètement le tracé de la fonction sur l'ouvert . Comme dit plus, haut j'arrive à prouver les deux trois choses suivantes :



et donc



J'en déduis ce qu'il faut pour tracer la fonction, après l'étude des variations/signes de la dérivée seconde, puis de la dérivée première.
Question :
- y'a-t-il un équivalent simple de la fonction gamma au voisinage de l'infini, tout comme au voisinage de 0 ?

- y'a-t-il une asymptote au voisinage de l'infini tout comme au voisinage de zéro ?

Merci !

[invite57a1e779]

La formule de Stirling est valable avec réel : .

Le graphe présente une branche parabolique d'axe Oy.

[breukin]

Je préfère éviter la méthode du "proche en proche" et son raisonnement du type "etc" que je n'aime pas trop.

Le raisonnement par récurrence est parfaitement valable et s'appelle en langage courant un raisonnement de proche en proche.
La fonction se prolonge parfaitement en tout réel en appliquant un nombre fini de fois la relation que j'ai mentionnée, laquelle est de démonstration plus élémentaire que celle du complément, dont je ne suis pas certain que vous possédiez la démonstration (au demeurant, si vous en maîtrisez la démonstration, ce qui dénote un certain niveau, je suis surpris que vous ayez du mal à comprendre l'allure du graphe pour les valeurs négatives, compréhension qui nécessite un niveau moins élevé).

[invite8d54258a]

J'ai vu la démonstration sous forme d'exercice ... Certes, elle n'est pas de moi. J'ai jugez naturelle d'essayer de voir l'allure d'une telle fonction, ce qui n'était pas demander par l'énoncé. Mais bon, laissez tombé.