Fonction GAMMA et sa dérivée

[inviteb4d8c3b4]

Salut à tous,

voilà on me donne . J'ai déjà démontré qu'elle était intégrable.

On me demande, en m'aidant de la méthode de la dérivée de la transformée de Laplace, de démontrer que la dérivée de la fonction GAMMA est définie pour tout x réel positif par l'expression ci-dessus.

Je vois pas comment faire. Si j'utilise Laplace, je vais dériver la fonction GAMMA mais j'aurais une dérivée fonction de p et non pas de t. Il faudrait alors que je fasse une transfo inverse qui doit être bien galère et je ne suis pas du tout sûr que ce soit ici le but.

J'ai commencé par dériver simplement à l'intérieur de l'intégrale mais je dois me planter quelquepart car je retombe pas sur ce qu'il faut. Je crois que mon soucis est sur la dérivation de par rapport à x.

Pourriez-vous m'aider svp ? Juste une piste, je dois pas être loin.

Merci
-----

[inviteb4d8c3b4]

Personne n'a une piste a proposer ?

[inviteaeeb6d8b]

Si tu as du mal à dériver écris plutôt :

[inviteb4d8c3b4]

Ok, c'est ce que je viens de faire et j'ai trouvé, je retombe sur la dérivée. Mais je n'ai en rien utilisé Laplace ici, c'est juste une dérivée !? Ai-je bon tout de même vous pensez ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

La fontion est définie par une intégrale dépendant d'un paramètre.
Pour dériver sous l'intégrale, il faut tout de même prendre quelques précautions.
C'est la raison pour laquelle, je pense, on te demande de t'aider de la transformation de Laplace.

Je change les notations : .
Si l'on effectue le changement de variable , on obtient


Cela ressemble beaucoup (aux bornes près), à la transformée de Laplace de .
En adoptant la démonstration de la dérivation de la transformée de Laplace, tu dois pouvoir obtenir la dérivée .