Primitive d'une fonction de L^2

**andrew_77** · 11/02/2010, 11h36

Bonjour,

Si on considère sur $\text{[math]}$ la suite de fonction $\text{[math]}$ égale à 1 sur $\text{[math]}$ et 2 sur $\text{[math]}$ , 1 sur $\text{[math]}$ , 2 sur $\text{[math]}$ etc... jusqu'à ce qu'on recouvre l'intervalle [0, 1] (suite de fonctions oscillante).
Soit u une fonction de $\text{[math]}$ .

Je cherche une primitive de la suite $\text{[math]}$ .

Voilà je vois pas du tout.

Merci

**KerLannais** · 12/02/2010, 08h54

Salut,

Il faut faire attention à ne pas poser de question ambigüe. La notion de primitive existe pour les suites aussi, il s'agit de la primitivation discrète, la primitive d'une suite $\text{[math]}$ est la suite de ses sommes partielles $\text{[math]}$ puisque si on calcule la dérivée discrète de $\text{[math]}$ on trouve $\text{[math]}$ . Il me semble que ta question c'était plutôt de trouver la suite des primitives.

Si $\text{[math]}$ elle est en particulier intégrable et la fonction
$\text{[math]}$
définie une fonction $\text{[math]}$ dont la dérivée au sens des distributions est $\text{[math]}$ .

On a
$\text{[math]}$
avec $\text{[math]}$ la partie entière. En regardant la somme sur les indices pairs ou impairs on peut encore transformer l'expression mais je ne vois aucune simplification miraculeuse ...

**andrew_77** · 12/02/2010, 10h13

salut !!
merci pour ta réponse, donc la suite des primitives existe.
Mais est-ce que cette suite converge faiblement vers $\text{[math]}$ (pour la norme $\text{[math]}$ ) ?
Je me dis que la suite $\text{[math]}$ converge faiblement pour la norme $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ donc elle est bornée dans $\text{[math]}$ et donc par Poincaré la suite des primitives est bornée dans $\text{[math]}$ donc donc cette suite de primitives converge faiblement dans $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ donc faiblement dans $\text{[math]}$ vers $\text{[math]}$ ;

je me dis que c'est un peu tordu mais je vois pas ce qui va pas ?

**KerLannais** · 12/02/2010, 12h11

Attention, j'ai dit que les primitives était dans $\text{[math]}$ , pour utiliser Poincarré il faut qu'elles soient dans $\text{[math]}$ et il faut donc montrer que
$\text{[math]}$
ce qui me semble faux en général. Par contre on peut borner cette intégrale indépendemment de $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
et en fait je crois que puisqu'on est en dimension $\text{[math]}$ le simple fait que la primitive s'annule en $\text{[math]}$ suffit pour avoir Poincarré:

Soit $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$
alors pour $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Par Cauchy-Schwarz on a
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

d'où

$\text{[math]}$
et
$\text{[math]}$
(je ne crois pas avoir fait d'erreur

)

ainsi tu peux appliquer ton raisonnement, enfin pour moi ça a l'air correct

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**KerLannais** · 12/02/2010, 12h25

oups j'ai oublié un détail

ce que tu prouve c'est que la suite des primitives converge vers 3/2u+c avec c une constante.

Peut-on montrer que cette constante est nulle?

certe on a
1- u(0)=0
2- chacune des primitives de la suite s'annule en $\text{[math]}$

si la suite convergeait fortement $\text{[math]}$ alors d'après les injections de Sobolev elle convergerait ponctuellement et donc la limite s'annulerait en $\text{[math]}$ et le tour serait joué

sauf qu'on a seulement une convergence faible $\text{[math]}$ ...

**Garf** · 12/02/2010, 23h56

Bon, ça fait un petit moment que je n'ai pas fait d'analyse fonctionnelle, ne vous étonnez pas si je me plante. Surtout que je n'ai pas regardé en détail le sujet...

(en considérant les fonctions de H¹ continues) On a :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Petite majoration :
$\text{[math]}$

Supposons que $\text{[math]}$ soit différent de 0. Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Posons $\text{[math]}$ . Alors :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

D'où contradiction, d'où $\text{[math]}$ .

**james_83** · 13/02/2010, 14h13

Bonjour et merci à vous deux pr ces réponses qui m'aident beaucoup.

En ce qui concerne $\text{[math]}$ , il me semble qu'il n'est pas nécessaire que la convergence soit $\text{[math]}$ fort pour qu'elle soit ponctuelle.
Le fait qu'elle soit $\text{[math]}$ fort suffit (à une sous suite près), donc comme $\text{[math]}$ et la suite des primitives est nulle en $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .
voilà, si quelqu'un peut me confirmer, ça serait cool.

**Garf** · 13/02/2010, 16h34

Si on prend $\text{[math]}$ sur [0,1], la convergence est forte dans $\text{[math]}$ vers la fonction nulle, mais non ponctuelle.

(petite gaffe dans mon précédet message : à certains endroits il faut prendre la valeur absolue de $\text{[math]}$ . Ca ne change rien à la conclusion.)

**andrew_77** · 13/02/2010, 18h11

salut !!

quand tu écris $\text{[math]}$ , tu as utilisé le minimum de la fonction $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ ?

dans ce cas, il ne faut pas prendre $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ?

**Garf** · 14/02/2010, 13h04

Envoyé par andrew_77

salut !!

quand tu écris $\text{[math]}$ , tu as utilisé le minimum de la fonction $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ ?

Oui.

Envoyé par andrew_77

dans ce cas, il ne faut pas prendre $\text{[math]}$ tel que pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ?

|c|/4. On peut augmenter un petit peu, mais |c|/2 ne marche pas ; on aurait d'une part une majoration par $\text{[math]}$ , et d'aure part une minoration par $\text{[math]}$ . Impossible d'en tirer une conclusion.

**andrew_77** · 14/02/2010, 14h18

Oui !! c'est ce que je voulais dire, autant pour moi.
Merci Garf, c'est nickel.

**Garf** · 14/02/2010, 20h07

Au temps pour moi, je n'avais pas compris ta question. Non, la propriété $\text{[math]}$ ne suffit pas, tout marche mieux quand on intègre la valeur absolue de la dérivée. Pour voir ce qui peut foirer, fixons un entier naturel non nul $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ croît sur les intervalles où $\text{[math]}$ vaut 2, et décroît sur ceux où $\text{[math]}$ vaut 1, fatalement, $\text{[math]}$ va être plus grand que $\text{[math]}$ , et je ne vois pas de contrôle simple qui ne fasse pas intervenir la fonction $\text{[math]}$ que j'ai définie...

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