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Primitive d'une fonction de L^2



  1. #1
    andrew_77

    Primitive d'une fonction de L^2


    ------

    Bonjour,

    Si on considère sur la suite de fonction égale à 1 sur et 2 sur , 1 sur , 2 sur etc... jusqu'à ce qu'on recouvre l'intervalle [0, 1] (suite de fonctions oscillante).
    Soit u une fonction de .

    Je cherche une primitive de la suite .

    Voilà je vois pas du tout.

    Merci

    -----

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  3. #2
    KerLannais

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    Salut,

    Il faut faire attention à ne pas poser de question ambigüe. La notion de primitive existe pour les suites aussi, il s'agit de la primitivation discrète, la primitive d'une suite est la suite de ses sommes partielles puisque si on calcule la dérivée discrète de on trouve . Il me semble que ta question c'était plutôt de trouver la suite des primitives.

    Si elle est en particulier intégrable et la fonction

    définie une fonction dont la dérivée au sens des distributions est .

    On a

    avec la partie entière. En regardant la somme sur les indices pairs ou impairs on peut encore transformer l'expression mais je ne vois aucune simplification miraculeuse ...
    Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.

  4. #3
    andrew_77

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    salut !!
    merci pour ta réponse, donc la suite des primitives existe.
    Mais est-ce que cette suite converge faiblement vers (pour la norme ) ?
    Je me dis que la suite converge faiblement pour la norme vers donc elle est bornée dans et donc par Poincaré la suite des primitives est bornée dans donc donc cette suite de primitives converge faiblement dans vers donc faiblement dans vers ;

    je me dis que c'est un peu tordu mais je vois pas ce qui va pas ?

  5. #4
    KerLannais

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    Attention, j'ai dit que les primitives était dans , pour utiliser Poincarré il faut qu'elles soient dans et il faut donc montrer que

    ce qui me semble faux en général. Par contre on peut borner cette intégrale indépendemment de

    et en fait je crois que puisqu'on est en dimension le simple fait que la primitive s'annule en suffit pour avoir Poincarré:

    Soit telle que
    alors pour




    Par Cauchy-Schwarz on a



    d'où


    et

    (je ne crois pas avoir fait d'erreur )

    ainsi tu peux appliquer ton raisonnement, enfin pour moi ça a l'air correct
    Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    KerLannais

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    oups j'ai oublié un détail

    ce que tu prouve c'est que la suite des primitives converge vers 3/2u+c avec c une constante.

    Peut-on montrer que cette constante est nulle?

    certe on a
    1- u(0)=0
    2- chacune des primitives de la suite s'annule en

    si la suite convergeait fortement alors d'après les injections de Sobolev elle convergerait ponctuellement et donc la limite s'annulerait en et le tour serait joué

    sauf qu'on a seulement une convergence faible ...
    Les mathématiques ne s'apprennent pas elles se comprennent.

  8. #6
    Garf

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    Bon, ça fait un petit moment que je n'ai pas fait d'analyse fonctionnelle, ne vous étonnez pas si je me plante. Surtout que je n'ai pas regardé en détail le sujet...

    (en considérant les fonctions de H¹ continues) On a :




    Petite majoration :


    Supposons que soit différent de 0. Soit tel que . Posons . Alors :




    D'où contradiction, d'où .

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  10. #7
    james_83

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    Bonjour et merci à vous deux pr ces réponses qui m'aident beaucoup.

    En ce qui concerne , il me semble qu'il n'est pas nécessaire que la convergence soit fort pour qu'elle soit ponctuelle.
    Le fait qu'elle soit fort suffit (à une sous suite près), donc comme et la suite des primitives est nulle en pour tout , .
    voilà, si quelqu'un peut me confirmer, ça serait cool.

  11. #8
    Garf

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    Si on prend sur [0,1], la convergence est forte dans vers la fonction nulle, mais non ponctuelle.

    (petite gaffe dans mon précédet message : à certains endroits il faut prendre la valeur absolue de . Ca ne change rien à la conclusion.)

  12. #9
    andrew_77

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    salut !!

    quand tu écris , tu as utilisé le minimum de la fonction sur ?


    dans ce cas, il ne faut pas prendre tel que pour tout , ?

  13. #10
    Garf

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    Citation Envoyé par andrew_77 Voir le message
    salut !!

    quand tu écris , tu as utilisé le minimum de la fonction sur ?
    Oui.

    Citation Envoyé par andrew_77 Voir le message
    dans ce cas, il ne faut pas prendre tel que pour tout , ?
    |c|/4. On peut augmenter un petit peu, mais |c|/2 ne marche pas ; on aurait d'une part une majoration par , et d'aure part une minoration par . Impossible d'en tirer une conclusion.

  14. #11
    andrew_77

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    Oui !! c'est ce que je voulais dire, autant pour moi.
    Merci Garf, c'est nickel.

  15. #12
    Garf

    Re : Primitive d'une fonction de L^2

    Au temps pour moi, je n'avais pas compris ta question. Non, la propriété ne suffit pas, tout marche mieux quand on intègre la valeur absolue de la dérivée. Pour voir ce qui peut foirer, fixons un entier naturel non nul . Si croît sur les intervalles où vaut 2, et décroît sur ceux où vaut 1, fatalement, va être plus grand que , et je ne vois pas de contrôle simple qui ne fasse pas intervenir la fonction que j'ai définie...

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