Transcendance de Pi

[invite51c9e6f8]

Bonjour,
ca fait plusieurs fois sur le forum que je vois les gens parler de la transcendence de pi. Mais qu'est ce que cela signifie?
Merci!
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[Quinto]

Bonjour,
ca signifie qu'il n'existe aucun polynôme P non nul de Q[X] qui annule Pi.
A l'inverse, on dirait qu'un nombre a est algébrique sur Q s'il existait p non nul de Q[X] tel que p(a)=0 en faisant la confusion habituelle, polynôme/fonction polynômiale.
A+

[invite51c9e6f8]

D'accord merci. On en connait d'autres des nombres comme ca? Et ca se demontre facilement (niveau mp)?

[Quinto]

Salut,
non ce n'est pas trivial du tout. (mais ca doit se voir en MP dans un ou deux problèmes éventuels)
Tu en connais plein d'autres, en fait si tu te donnes un nombre au hasard, je ne crois pas dire de bétise en disant que la possibilité de ne pas tomber sur un tel nombre est presque nulle. (l'ensemble des nombres algébrique étant dénombrable)
Notamment, les exemples sont ln(r) pour r rationnel différent de 1. Idem avec exp(r) avec r non nul. De même pour les cosinus et les sinus.
Sauf erreur de ma part.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[doryphore]

e est un nombre transcendant également, et gamma d'euler aussi.
Ces nombre sont construits à l'aide de convergence de suites (séries) et d'intégrales.

POur démontrer que de tels nombres sont transcendant, je suppose qu'il faut le montrer par l'absurde en utilisant une caractérisation pertinente du nombre, mais ce n'est pas toujours facile, ainsi personne ne sait aujourd'hui si e+Pi est ou n'est pas transcendant.

Pour Pi et e une recherche sur ce site et d'autres t'apporteront peut-être la solution.

croisement avec Quinto et matthias

[matthias]

D'accord merci. On en connait d'autres des nombres comme ca? Et ca se demontre facilement (niveau mp)?

Oui on en connait d'autres (e est transcendant aussi, démontré par Hermitte). En fait les nombres algébriques sont plutôt l'exception, il me semble.
Et la démonstration n'est pas évidente.

[Quinto]

gamma d'euler aussi

Ah oui?
Tu as la médaille de Fields alors si tu peux l'affirmer
Ah moins qu'on ne parle pas du même gamma d'euler (il y'en a au moins 2).
Amicalement.

[matthias]

et gamma d'euler aussi.

Tu es sûr ?
Il me semblait qu'on savait juste qu'elle était irrationnelle.

[invite51c9e6f8]

merci j'espere que je verrai ca l'an prochain alors

[Quinto]

Et la démonstration n'est pas évidente.

Ce n'est pas très difficile, l'ensemble de ses nombres est dénombrable (évident).
Notamment tout ensemble dénombrable est de mesure (de Lebesgue) nulle (évident également).
Maintenant en MP c'est vrai que ca doit être moins évident à montrer
Sauf erreur(s)
Amicalement.
Quinto

[doryphore]

J'ai été trop vite, je vais le démontrer de suite...

[matthias]

Ce n'est pas très difficile, l'ensemble de ses nombres est dénombrable (évident).
Notamment tout ensemble dénombrable est de mesure (de Lebesgue) nulle (évident également).
Maintenant en MP c'est vrai que ca doit être moins évident à montrer

Mon message était ambigu, je parlais de la démonstration de la transcendance de PI et e.

[Quinto]

Ah ok matthias, là je passe la main

[matthias]

On doit pouvoir trouver les démonstrations quelque part dans la bibliothèque.

[Gwyddon]

La transcendance de e est un exercice typique d'oral d'ENS. C'est assez horrible quand même.

L'existence de nombres transcendants en spé se fait typiquement avec les nombres de Liouville.

[Quinto]

Avec la mesure encore une fois c'est évident comme résultat.
Je crois qu'historiquement c'est justement Liouville qui a mis en évidence le résultat de leur existence...

[martini_bird]

Tu es sûr ?
Il me semblait qu'on savait juste qu'elle était irrationnelle.

En fait, on ne sait même pas si elle (la constante d'Euler-Macheroni) est irrationnelle.

Cordialement.

[martini_bird]

La transcendance de e est un exercice typique d'oral d'ENS.

Euh, tu es sûr? Car la démo prend quand même plusieurs pages.

On doit pouvoir trouver les démonstrations quelque part dans la bibliothèque.

Dans le cours d'A. Chambert-Loir, Algèbre corporelle, page 20 et suivantes.

[matthias]

En fait, on ne sait même pas si elle (la constante d'Euler-Macheroni) est irrationnelle.

Arf, oui, c'est vrai, mais ça me paraît tellement incroyable que je finis toujours par oublier et me convaincre du contraire, surtout par cette chaleur (qui a vraiment bon dos ).

[doryphore]

POur quelques caractérisations de la constante gamma d'Euler...

http://mathworld.wolfram.com/Euler-M...iConstant.html

[invite21126052]

bonjour à tous

désolé de vous interrompre dans vos constantes, mais j'avais une petite question:

Bonjour,
ca signifie qu'il n'existe aucun polynôme P non nul de Q[X] qui annule Pi.
A l'inverse, on dirait qu'un nombre a est algébrique sur Q s'il existait p non nul de Q[X] tel que p(a)=0 en faisant la confusion habituelle, polynôme/fonction polynômiale.
A+

la condition coefficients entiers (enfin, il me semble qu'elle est nécessaire, non?!), elle se retrouve quelque part ici? dans cette confusion polynôme, fonction polynômiale justement?

bon je sais pas si c'est clair, mon message me semble assez bizarre, mais bon...

merci pour vos réponses!

[martini_bird]

la condition coefficients entiers (enfin, il me semble qu'elle est nécessaire, non?!), elle se retrouve quelque part ici?

Oui, Quinto a récisé dans Q[X], donc les coefficients sont rationnels (et on peut se ramener facilement à Z[X] si tu préfères).

Cordialement.

[invite21126052]

d'accord, merci beaucoup...
à vrai dire, je n'y avais pas fait attention, et surtout je ne savais pas que c'était important...
bon j'avais déjà vu dans des livres "polynômes dans IK[x], avec IK un corps (commutatif?) ou des choses de ce genre, mais ça restait assez mystérieux... en fait maintenant ces deux points sont pas mal plus clairs! merci beaucoup! (oui, commencer par le début et voir ce que sont les corps avant de voir les polynômes etc, ça peut avoir un peu de sens )

autrement, Z ne m'arrange pas sépcialement plus que Q (il suffit de réduire tout les coefs au même dénominateur, et de multiplier les membres par ce dernier je suppose...?)

[martini_bird]

il suffit de réduire tout les coefs au même dénominateur, et de multiplier les membres par ce dernier je suppose...?

Oui c'est bien ça.

[invitea77054e9]

Salut,

Si j'ai bien compris, l'ensemble des nombres algébriques A contient Q et son complémentaire dans lR est l'ensemble des nombres transcendants.
Existe-t-il une classification encore plus fine des réels, par exemple peut-on "partionner" les nombres transcendants?

[doryphore]

Oui, j'ai lu un article sur Pour la Science qui abordait le sujet...
Je crois que ça a un lien très fort avec l'informatique et les machine de Turing, je vais essayer de le retrouver...

[doryphore]

Fais une recherche sur les nombres normaux et les nombres calculables. Cela te permettra d'affiner ta percerption des nombres réels...

[Gwyddon]

Euh, tu es sûr? Car la démo prend quand même plusieurs pages.

Oui oui, bon je ne sais pas si le candidat arrive au bout... En fait j'ai dit les ENS, mais ça peut être aussi l'X (l'énoncé suivant est tiré du livre de Francinou, oraux X-ENS) :

1 Soit P un polynôme à coefficients réels, et pour t réel, . Montrer que si deg(P) = q, alors l'on a .

2. Supposons donnés des entiers relatifs tels que et

Soit p un entier naturel. On pose

Ainsi que .

Montrer que J est un entier. Montrer ensuite que divise J, et enfin que pour tout entier premier p assez grand, J est non nul.

3. Montrer qu'il existe C réel tel que pour tout p entier l'on ait , puis trouver une minoration de |J|. En déduire la transcendance de e.

[samID55]

qu'est ce que donne la racine carrée de pi par la trancendance de pi