Degré de transcendance

[martini_bird]

Salut,

sur un corps algébriquement clos k, on considère la k-algèbre .

Je voudrais démontrer que le degré de transcendance sur k du corps de fractions de A vaut 1, mais je ne vois pas commet m'y prendre. Des idées?

Par la suite, je voudrais montrer que le degré de transcendance sur k du corps des fractions de vaut également 1, mais je devrais m'en sortir si j'ai compris le principe.

Merci d'avance.

PS: Pour ceux qui possèdent la Géométrie algébrique de D. Perrin, c'est pour éclaircir un point de la page 87...
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[GuYem]

Quoi ?? Toi tu poses des questions des fois Martini?

Dis moi k(X,Y) c'est le corps des fractions rationnelles à deux inconnues? Si tel est le cas alors A est trivial, donc je pense que non.

Sinon tu pourrais définir le degré de transcendance d'un corps sur un autre ?

Désolé de répondre à ta quetion par d'autres questions.

[martini_bird]

Oups désolé,

je voulais bien sûr parler du quotient de l'algèbre des polynômes en X, Y par l'idéal engendré par XY...

Le degré de transcendance, hum... c'est un peu comme la dimension d'un ev: si L/k est une extension de corps, une base de transcendance B de L sur k est une partie de L à la fois algèbriquement libre¹ et algèbriquement génératrice². Le cardinal de cette base est le degré de transcendance de L sur k.

Merci de ton attention.

¹ B est algèbriquement libre si pour toute partie finie {x₁, ..., x_n} de B et tout polynôme P k(x₁, ..., x_n), l'égalité P(x₁, ..., x_n)=0 implique x₁=...=x_n=0.

² B est algèbriquement génératrice si l'extension L/k(B) est algébrique.

[martini_bird]

¹ B est algèbriquement libre si pour toute partie finie {x₁, ..., x_n} de B et tout polynôme P k(x₁, ..., x_n), l'égalité P(x₁, ..., x_n)=0 implique x₁=...=x_n=0.

Décidemment ce soir je suis le

Il fallait lire:

B est algèbriquement libre si pour toute partie finie {x₁, ..., x_n} de B et tout polynôme P k(x₁, ..., x_n), l'égalité P(x₁, ..., x_n)=0 implique P=0.

Désolé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

Salut,

en fait j'ai un doute: la dimension de la variété algébrique affine V=V(XY)={(x,y)k², xy=0} serait-elle de dimension 2?

C'est pas très intuitif, mais comme c'est la réunion des fermés irréductibles V(X)={X=0} et V(Y)={Y=0} qui sont de dimension 1, ça ferait une chaîne ...

Quelqu'un pour confirmer?

[invite8f53295a]

Salut Martini_bird !

En fait ton anneau A n'est pas intègre, donc on ne peut pas vraiment parler du corps des fractions. Géométriquement ça revient à dire que l'espace affine associé n'est pas irréductible : il a en fait deux composantes irréductibles V(X=0) et V(Y=0) comme tu l'as remarqué.
Si tu t'intéresses à ceci pour la dimension, il vaut mieux parler de la dimension de chaque composante irréductible, les différentes composantes d'une variété (même connexe) peuvent avoir des dimensions différentes. Ici les anneaux de fonctions des composantes sont k[X,Y]/(X) et k[X,Y]/(Y) et on voit facilement que le degré de transcendance de leur corps de fractions est un.

Pour ta dernière question, la dimension (de Krull) d'un espace topologique est le plus grand n tel qu'il existe une chaîne de fermés irréductibles

Mais ici V(X) et V(Y) sont des fermés irréductibles 'maximaux' tu ne peux pas trouver de fermé irréductible qui contienne strictement un des deux, donc la dimension est bien un, il n'y a pas de souci.
D'ailleurs en général (enfin si l'espace topologique est noethérien, ce qui est vrai la plupart du temps en géométrie algébrique), le fermé du bout d'une chaîne maximale comme plus haut doit être un fermé irréductible maximal, c'est à dire une composante irréductible. Dans notre cas on a bien dit que ce sont V(X=0) et V(Y=0).

J'espère avoir répondu à tes questions, je n'ai plus sous la main le livre de Perrin, qu'y a-t-il exactement à la page 87 ?

Amicalement,

BS

[martini_bird]

Salut,

Salut Martini_bird !

En fait ton anneau A n'est pas intègre, donc on ne peut pas vraiment parler du corps des fractions.

Ah ben oui... On peut localiser mais c'est tout...

OK, c'est clair maintenant: on peut parler du degré de transcendance de Frac((V)) seulement si (V) est intègre (donv V irréductible). Sinon, on regarde les composantes irréductibles et on ne peut parler de la dimension de V que si toutes les composantes ont mêmes dimensions.

En l'occurence, les composantes irréductibles de V=V(XY) sont X=0 et Y=0, chacune de dimension 1. Et les composantes irréductibles de V(x(x+y+1)) sont x=0 de dimension 1 et le point (-1, 0) de dimension 0. Dans ce dernier cas, la variété n'est pas équidimensionnelle.

A la page 87, il est dit qu'une variété n'est pas forcément équidimensionnelle et que si V est de dimension n, V(f) n'est pas forcément de dimension n-1.

Bon ma question m'apparaît complètement triviale maintenant.

Merci de m'avoir aider à remettre tout ceci à plat!

[invite8f53295a]

OK, c'est clair maintenant: on peut parler du degré de transcendance de Frac((V)) seulement si (V) est intègre (donv V irréductible). Sinon, on regarde les composantes irréductibles et on ne peut parler de la dimension de V que si toutes les composantes ont mêmes dimensions.

Il arrive quand même souvent qu'on dise que la dimension de la variété est la borne supérieure des dimensions de ses composantes irréductibles.

En l'occurence, les composantes irréductibles de V=V(XY) sont X=0 et Y=0, chacune de dimension 1. Et les composantes irréductibles de V(x(x+y+1)) sont x=0 de dimension 1 et le point (-1, 0) de dimension 0. Dans ce dernier cas, la variété n'est pas équidimensionnelle.

Là je n'ai pas très bien compris je crois, pour ta deuxième variétés les composantes ne sont pas V(x) et V(x+y+1) qui sont deux droites ?