Matrice et SEV

[invited7bf6bfb]

Bonjour à tous voici mon problème:

On considère le R-espace vectoriel E=R3 , muni de sa base canonique B=(e1;e2;e3).
Soit f l'endomorphisme de E dont la matrice dans B est la matrice A suivante


0 2 -1
-2 0 -2 = A
1 2 0
on po1se également
u1= -2 e1 + e2 + 2 e3
u2= e1 + 2 e2
u3= f(u2)

Questions:
-exprimer u3 en fonction de e1 e2 e3 je trouve u3=u2 ce qui me parrait louche.

-Montrer que U est une basse de E et determiner la matrice de f dans U. U={u1;u2;u3}.
La je suis perdu, car je me suis cassée le bras et j'ai raté tout le cour sur les matrices.

Merci de votre aide
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[invitec540ebb9]

sans calcul ta reponse est fausse c'est sure car si u3=u2 U n'est plus une base car u2,u3 liée... Donc c'est pas ça.
Moi je ferai
(1)
u3=A(2)=... comment tu trouve u3=u2??

[invited7bf6bfb]

J'ai utilisé la matrice, mais je viens de voir que je m'y suis mal pris.
J'ai du mal à trouver la relation de linéarité.

[invitec540ebb9]

quelle relation c'est le produit d'une matrice avec un vecteur qu'il te faut c'est pas compliqué.
tu devrai trouver u3=4e1 -2e2 je pense. Apres tu en deduis une matrice tu calcule le determinant (qui sera non nul et donc c'est une famille libre faut montrer qu'elle est generatrice ensuite).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7bf6bfb]

Alors j'ai u3= 4e1 -2e2 + 5e3.
Mais j'aurais besoin de la méthode pour determiner la matrice de f dans U.

[sylvainc2]

Pour u3 c'est bon.

Pour trouver la matrice de f dans la base U, il faut écrire f(u1),f(u2),f(u3) dans la base U et les placer dans les colonnes 1,2,3 respectivement de la matrice, ex: f(u1)=a u1 + b u2 + c u3, on place a,b,c dans la colonne 1, etc.:

f(u1)=f(-2e1+e2+2e3) = -2f(e1)+f(e2)+2f(e3) = 0 --> ici on a pas besoin de faire d'autres calculs, si f(u1)=0 dans le base e1,e2,e3 alors f(u1)=0 aussi dans la base u1,u2,u3, donc 0,0,0 dans colonne 1.

Pour f(u2) on te l'a donné dans le problème, pas besoin de calculs, c'est f(u2)=u3 = 0u1+0u2+1u3 donc 0,0,1 dans colonne 2.

f(u3)=f(4e1-2e2+5e3) = 4f(e1)-2f(e2)+5f(e3) = -9e1 - 18e2. Ici normalement il faudrait faire d'autres calculs, mais c'est pas nécessaire car on remarque que -9e1 - 18e2=-9(e1+2e2) --> f(u3)=-9u2 donc 0,-9,0 dans la colonne 3.

La méthode générale est de faire un changement de base: B = P^-1 A P.