.Bonjour,
Voilà un exercice proposé par mon prof de maths, et pour lequel je n'ai toujours pas trouvé de réponses :
l'intégrale entre 0 et 1/(rac(2)) de Arctan(rac(1-x²))dx
Je pense qu'il doit s'agir de faire 'le' bon changement de variable, mais ,en ayant essayé plusieurs, je ne crois pas l'avoir trouvé.
Je vous remercie par avance de l'aide que vous pourrez m'apporter,
Cordialement,
TercKuor.
Il y a une primitive, que Wolfram trouve :Envoyé par TercKuor
-ArcSin[x] + Sqrt[2] ArcTan[x/Sqrt[2 - 2 x^2]] + x ArcTan[Sqrt[1 - x^2]]
On trouve le x*Arctan(rac(1-x²) en intégrant par parties, et probablement le Arcsin(x) en posant x=sint, mais je n'arrive pas à reconstituer la formule
Merci ericcc.
J'ai suivi tes conseils et ça marche (presque comme sur des roulettes)
Voici le calcul :
- On commence par intégrer par parties : I = intégrale(entre 0 et 1/rac(2)) de Arctan(rac(1-x²)dx.
u(x)= Arctan(rac(1-x²)) ==> u'(x)=(-x)/((2-x²)*(rac(1-x²)))
v'(x)=1 <== v(x)=x.
On obtient
I= [xArctan(rac(1-x²))]+intégrale de(x²/((2-x²)*(rac(1-x²))))
En nommant J cette seconde intégrale, et en effectuant un changement de variable,
x=cos(t)
t=Arcos(x)
dx=-sin(t)dt
Tandis que x varie de 0 à 1/rac(2), t varie de Pi/2 à Pi/4
D'où,
J= intégrale de Pi/2 à Pi/4 de (((-cos²(t)dt)/(2-cos²(t)))
ce qui vaut encore en écrivant le dénominateur sous la forme cos²(t) + 2sin²(t) et en divisant le tout par cos²(t) ,
J= intégrale de Pi/4 à Pi/2 de ((dt)/(1+2tan²(t)))
On pose maintenant u = tan(t) (en négligeant certes, quelque peu l'ensemble de définition, mais ça devrait allé)
t= Arctan(u)
dt=du/(1+u²)
Si t varie de Pi/4 à Pi/2, u varie de 1 à +inf.
On a alors
J = intégrale de 1 à +inf de ((du)/(1+2u²)(1+u²))
On décompose en éléments simples, passons les détails du calcul, on obtient
J=intégrale de 1 à +inf de ((2/(1+2u²)-1/(1+u²))du)
D'où J = rac(2)[Arctan(rac(2)u]-[Arctan(u)]
Soit, pour revenir à I et en remettant x à sa place,
(Comme u=tan(t) et t = Arcos(x), on a u=tan(Arccos(x))
I= [xArctan(rac(1-x²))] + rac(2)[Arctan(rac(2)*tan(Arcos(x)))] - [Arccos(x)]
où il faut calculer chaque membre entre 0 et 1/rac(2).
Voilà.
Je pense que ça doit aussi marcher avec le sinus.
Beurk ! ! !
